《微分学中值定理》PPT课件

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1、第十章多元函数微分学第一节多元函数的极限与连续第二节偏导数第三节全微分第四节多元函数微分法第五节多元函数的极值第一节多元函数的极限与连续一、多元函数的概念1.引例例１设矩形的边长分别为x和y，则矩形的面积S为S=xy（x>0,y>0）.这里变量S依赖于两个独立自变量x和y，称S是x和y的二元函数．例2电流所产生的热量Q与电压E、电流I以及时间t的关系式为Q=EIt(E>0,I>0,t>0)．这里变量Q依赖于三个独立自变量E、I和t，称为三元函数．2.二元函数的定义定义1设有三个变量x，y和z，如果当变量x，y在它们的变化范围

2、D中任意取定一对值时，变量z按照一定的对应规律都有唯一确定的值与它们对应，则称z为变量x，y的二元函数．记为z=f(x，y)，其中x与y称为自变量，函数z也叫因变量，自变量x和y的变化范围D称为函数的定义域．一元函数的定义域一般是一个或几个区间，二元函数的定义域一般是由平面上一条或几条曲线所围成的连通的部分平面，这样的部分平面称为区域．常见的区域有矩形区域：圆形区域：(δ<0).圆形区域一般称为平面上点的δ邻域.类似地可定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上函数；二元及二元以上的函数称为多元函数．例3求二元函数z=的定

3、义域．解由根式函数的要求容易知道x，y必须满足不等式所以定义域为D表示xoy平面上一个以圆点为圆心，半径为1的圆内及圆周边界上点的全体．它是有界闭区域．如图所示.例4求二元函数z=ln(x+y)的定义域．解自变量x+y的取值必须满足不等式x,y>0，即定义域为D在xoy平面表示一个在直线上方的半平面（不包含边界x+y=0）．它是无界开区域．如图所示．3.二元函数的几何表示一般地，一元函数y=f(x)在平面直角坐标系中表示一条曲线．二元函数z=f(x,y)在空间直角坐标系中表示一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影

4、,如图1．例如，例3中函数的图形就是扣在xoy平面上的上半单位球面,如图2.图1图2二、二元函数的极限在一元函数中，我们讨论过当自变量趋向于有限值时函数的极限．对于二元函数z=f(x,y)，同样可以讨论当自变量x与y趋向于有限值时，函数z的变化趋势．定义2设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义(点可除外).如果动点P(x,y)沿任意路径趋向于定点时，对应函数值f(x,y)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数z=f(x,y)当时的极限，记作类似于一元函数，二元函数的极限也有相应的四则运算法则．三、二元函数的连续性像一

5、元函数一样，我们给出二元函数连续的定义．定义3设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，且则称函数f(x,y)在点处连续．如果f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续．设自变量x,y各取得增量,函数z=f(x,y)取得增量称为函数z=f(x,y)在点处的全增量．设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，则函数z=f(x,y)在点处连续的充分必要的条件是如果函数z=f(x,y)在点不连续，则称点是z=f(x,y)的不连续点或间断点．与一元函数类似，二元初等函数在其定义区域内是连续的．第二节偏

6、导数一、偏导数定义设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，当y固定在处有增量时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数，记作类似地，函数z=f(x,y)在点处对y的偏导数定义为记作如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，这个偏导数仍是的函数，称为函数z=f(x,y)对x的偏导数，记作类似地，函数z=f(x,y)对y的偏导数定义为记作说明(1)由偏导数的定义知，二元函数的偏导数就是指对一个自变量求导，而其它变量保持不变，因此求导时可将二元函数看成

7、是一元函数；(2)求二元函数的偏导数，不需引进新的方法，只需利用一元函数的求导公式和求导法则．例1解把y看作常量，对x求导，得把x看作常量，对y求导，得例2解例3解例4解例5证二、偏导数的几何意义二元函数z=f(x,y)在空间直角坐标系中，一般表示一个曲面．若把z=f(x,y)中的y看作常数,则表示曲面z=f(x,y)与平面　　　　相交成的一条曲线．由一元函数导数的几何意义可知，偏导数　　　　　就是这条曲线在点处的切线关于x轴的斜率（如下页图），即在点处的切线关于y轴的斜率（如下图)同理，偏导数　　　　　就是曲面z=f(x,

8、y)与平面　　　的交线即三、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内偏导数存在，则这两个偏导数的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数．即类似地，可定义三阶、四阶、…、···、n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数.例6解对于三元及以上的函数可以类似地定义高阶偏导数，并在