高数微分学与中值定理

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1、高等数学工科数学分析、常微分方程基础、立体解析几何第二章一元微分学微积分学的产生是科学史上最重大的成就之一。其实早在公元前五世纪，从安蒂丰建立所谓的穷竭法，经过欧多克索斯（公元前四世纪），到阿基米德(公元前三世纪)的探索和发展，积分学就曾以另外一种面貌，局部的出现过（它比导数思想的出现早得多，当然只要有积分，就会相应的有微分的思想萌芽）。牛顿和莱布尼茨，发展、整合前人成果，将微分与积分联系起来形成一个系统，创立了微积分学。在牛顿和莱布尼茨之前，笛卡尔，费尔马，巴罗（牛顿的老师）等人，曾经为了确定曲线的切线以及函数的极大、极小值，

2、运用了微分或导数思想方法。尽管不太成熟，也往往局限于具体的问题和计算。但是，即便在他们运用微积分学取得了巨大成功的时候，导数与微分，在概念的逻辑基础上，依然存在着巨大的争议-这便是所谓的无穷小危机。直到十九世纪，极限概念形成并严格化之后，微积分学才有了相对稳固的逻辑基础。我们将会看到，无论是导数、定积分还是无穷级数求和，都是某种类型的极限。仅从逻辑的角度讲，极限是微积分学的“核”。真正掌握了极限理论，便不难理解微积分学中的所有重要概念。但是不能忘记：数学理论的生命之源在于现实。微积分学不是纯粹思辨和逻辑的衍生品。任何有意义的理论

3、，当然包括数学，是人类在解决各种问题中建立的。数学理论总是抽象和形式化的。但正是因为这一点，它一经产生，往往会反映更多的现实关系，有更广泛的应用范围（简单考虑一下数）。如果不能从理论和逻辑上深刻理解数学概念及其关系，便无法自由的应用数学理论。但是如果不能将数学理论与现实关系联系起来，也无法深刻理解数学理论的意义。导数概念的产生有着十分直接的现实背景，分别来自于力学和几何学。第一节导数定义以及由定义求导1.导数概念1.1问题与理论抽象-概念的引入第一个经典问题：这个问题产生自力学，即如何确定（严格说是定义）某时刻的瞬时速度；第二个

4、经典问题：这是一个与力学密切相关的几何问题。考虑做曲线运动的质点，在每个瞬间，假设没有外力影响，其运动的指向应该是曲线上过该质点所处位置的切线方向，那么曲线上某点处的切线应该如何确定（定义）？【例1】（变速直线运动瞬时速度）假设有一物质做直线运动，取它运动时所形成的直线为数轴OS（图2-1），物体位置S与运动时间t之间的变化规律为S=f(t)，假设速度变化是连续的，现在来考虑物体在时刻t0的运动的快慢．设t0去取增量△t，在时刻t0处位置函数得到一个相应的增量△S=f(t0+△t)-f(t0)即物体从时刻t0到时刻t0+△t的位

5、移，我们称为物体在时刻t0到时刻t0+△t这段时间内的平均速度．OSS0=f(t0)S0+△S（图2-1）△S=f(t0+△t)-f(t0)只有当物体做匀速直线运动时，物体在任意时刻的速度与平均速度v一致．当物体作变速直线运动时，平均速度就不能准确反映物体在时刻t0的运动速度，只能大致反映物体在这一时间段内运动的快慢．日常生活中，我们所说的速度通常指的是平均速度，而科学技术中，却往往要考虑某一具体时刻物体运动的快慢，通常意义下的速度并不能准确的刻画物体在这一时刻运动的快慢．为此我们需要引进一个能够准确合理地描述它的量，这就是瞬时

6、速度．也就是科学技术中的“速度”的概念．平均速度v与△t有关，∣△t∣很小时，v可近似看做时刻t0时的速度，显然∣△t∣越小，这样的近似度越好．自然地将△t→0时的极限，即当作物体在时刻t0的运动速度，我们称它为时刻t0的瞬时速度，记作【例2】（平面曲线切线的斜率）与切线的静态定义：切线是与曲线只有一个交点的直线．不同的是，我们从运动的观点来定义切线，即切线为变动割线的极限位置．例如M和N是曲线C上的两点作割线MN．当N沿曲线C趋于M时，割线MN将绕点M旋转而趋于极限位置MT（如果它存在），直线MT就称为曲线C在点M处的切线．这

7、里极限位置的含义是：只要弦长∣MN∣趋于零，∠NMT也趋于零．CMNT（图2-2）将上述几何直观转化为代数分析（确定切线斜率）：设曲线C为一条连续的平面曲线，其方程为y=f(x)．M(x0,y0)是曲线C上的一个点（图2-3）．在点M近旁任取C上的一点N(x,y)，于是割线MN的斜率为当点N沿曲线C趋于点M，即x→x0时，如果上式的极限存在，设其为k，即xCyT（图2-3）y=f(x)M(x0,y0)N(x,y)Oxx01.3导函数：在开区间内与在闭区间上可导1.4可导与连续：可导必连续，但连续未必可导（例）1.2导数的定义及相

8、关概念-某点处可导与不可导；-相关的符号约定与导数无穷大；-左导数与右导数。无论是瞬时变化率还是斜率，先要经过除法计算！在这里抽象出来的共同形式为：差商及其极限。第三：广义的瞬时变化率。特别之处在于，要确定在某一点或某一瞬间处的值，所以便要取极限-无法摆脱的无限