《中值定理及其应用》PPT课件

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1、第六章微分中值定理及应用§1拉格朗日定理和函数的单调性§2柯西中值定理和不定式极限§3泰勒公式§4函数的极值与最大(小)值§5函数的凸性与拐点§6函数图象的讨论§1拉格朗日定理和函数的单调性我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数

2、学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。引言微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。一.预备定理——费马(Fermat)定理费马（Fermat，1601-1665）,法国人,与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名。.0)(0=¢xf若函数f(x)在(a,b)内一点x0取得极值,且f(x)在x0可微,则几何解释:证明:只就f(x)在x0取极大值的情形给出证明.由于f(x)在x0取极大值,所以存在>0,当xU(x0,)时,有f(x

3、)f(x0),又f(x)在x0可导,所以而所以所以●●这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.典型情形的证明思想●结论:Rolle定理MadebyldydcRolle定理（一）Rolle定理罗尔:法国数学家，1652年4月21日生于昂贝尔特，罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。证(1)若M=m,则f(x)M,由此得f'(x)0,所以因为f(x)在[a,b]上连续,所以必取得最大值M和最小值m.都有(2)若Mm,由于f(a)=f(b),所以函数的最大值

4、和最小值不可能同时在端点取得,不妨设Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点,使M=f(),因为所以（二）Rolle定理的几何意义(三)关于洛尔定理的几点说明注1：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的.-2-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,例如:(i)y=f(x)=1,x=1,x[0,1)图3-1-2xy011注2：f(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x时,f(x

5、)=1.x时,f(x)=1.x=0时,f(0)不存在.(ii)0xy111图3-1-3y=

6、x

7、(iii)y=f(x)=x,x[1,2],f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2).但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.02112xyy=x图3-1-4注3.罗尔定理的结论中不是唯一的,可能有一个,几个甚至无穷多个.例如在[-1,1]上满足罗尔定理的条件,而显然在(-1,1)内,存在无数个使f/(cn)=0-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2-1-0.500.511.52

8、x10例1,注4.将罗尔定理的条件1.2.换为[a,b]上可导,结论仍成立.例2例3证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,约瑟夫．拉格朗日（JosephLouisLagrange1736-1813），普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为“欧洲最大之数学家”，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。IfIhadbeenrich,Iprobablywouldnothavedevotedmyselftomathematics.Lagrange中值定理T与l平行更广泛情形的证明思想:同一点Lagrang

9、e中值定理（一）Lagrange中值定理中值定理的演示T与l平行这样的x可能有好多证分析:弦AB方程为（二）Lagrange中值定理的几何意义作辅助函数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.（三）Lagrange公式的几种形式(四)Lagrange中值定理的应用1.导数相等的函数之间的关系推论１推论证明恒等式例4证例5证由上式得证明不等式判定函数的单调性推论2证应用拉氏定理,得注:例6解推论3(导数极限定理)设函数f(x)

10、在点x0的某邻域U(x0)内连续,在U0(x0)内可导,且极限存在,则f(x)在点x0可导,且．§2柯西中值定理和不定式极限Cauchy中值定理（一）cauchy中值定理证作辅助函数（二）ca