《中值定理的应用》PPT课件

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1、微分中值定理的应用1.微分中值定理1)罗尔定理2)拉格朗日中值定理3)柯西中值定理在上连续,在内可导,且在上连续,在内可导,则至少存在一使在上连续,在内可导,则至少存在一使则至少存在一使5)三个定理之间的内在联系拉格朗日中值定理罗尔定理柯西中值定理4)判别的方法若，则6)微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论7).有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两

2、个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.5.证明有关中值问题的结论：题型一：证明存在使例1.设上可导，且证明在内必有唯一的使证明：（存在与唯一性）设上可导，由零点定理，存在，使，由罗尔定理知，存在，使，即这与矛盾.练习例2.设上连续，求证：证明:设题型二：证明证明思路：例3.设上

3、可导，求证：证明:例4.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,分析:所给条件可写为试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在且例5.设函数f(x)具有二阶导数,且试证必存在证:在[0,1]上满足Rolle定理的条件,使或的一部分.构造辅助函数的一般方法：1.将结论改写为方程；2.将方程中的换成；3.方程的一端就是或题型三：证明有关中值的等式成立例6.设在内

4、可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点问题转化为证分析0)(2)(=+¢xxxff练习1设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:令且即由已知条件知在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使例7.设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:令且即由已知条件知在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使分析微分中值定理且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf例8.证即且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf).,(

5、,0)(,0)()(baxxfbfafι==定理由Rolle证明：练习1.(2)练习2.设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:令且即由已知条件知在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使练习3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足Rolle定理条件.练习4.由罗尔定理,练习4.构造辅助函数构造辅助函数构造辅助函数总结：通过恒等变形例9.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,试证存在,(a,b),使证对f(x)与x2在[a,

6、b]上使用柯西中值定理,存在(a,b),使再对f(x)在[a,b]上使用拉格朗日中值定理,(a,b),使上两式相除即得,(a,b).练习.例10.设在上连续,在试证对任意给定的正数内可导,且存在证:转化为证因即由连续函数定理可知,存在使使因此对分别在上用拉氏中值定理,得即1.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足Rolle定理条件.设练习试证至少存在一点使2.),,1(eÎx.lncos1sinx=则f(x)在[1,e]上使因此证法一令满足Roll

7、e中值定理条件,分析即0lncos1sin=-x3.分析将结论交叉相乘得辅助函数F(x))()()()()()(),,(xxxxxgfbggfafba¢¢=--Î$使得)()()()()()()()(bgfgfgfgafxxxxxx¢-¢=¢-¢0)()()()()()()()(=¢+¢-¢-¢bgfgfgfgafxxxxxx0)]()()()()()()()([=¢+¢-¢-¢=xxbgxfxgxfxgxfxgaf证设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.微分中值定理)()()(xga

8、fxF¢=¢)()(bgxf¢+)()(xgxf¢-)()(xgxf¢-即得证毕.微分中值定理)()()(xgafxF¢=¢)()(bgxf¢+)()(xgxf¢-)()(xgxf¢-)()()()()()(xxxxxgfgfgaf¢-¢-¢0)()(=¢+bgfx4.设上连续，求证：分析:证明:设分析将所证等式变形为或可见，应对与在上应用柯西中值定理.5.f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0ab),证明存在(a,b),使证法一对f(x)与g(x)=lnx在[a,b]上用柯