微分中值定理与导数的应用ppt课件.ppt

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1、第三章微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3泰勒公式与函数的高阶多项式逼近3.4函数的单调性与凸性3.5函数的极值与最值的求法3.6弧微分曲率函数作图3.1微分中值定理极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.定义定理1证证毕定理2几何解释:证证毕注意:例如:又如:洛尔定理的条件仅为充分条件，非必要条件.定理3几何解释:拉格朗日中值公式证作辅助函数:证毕考察辅助函数:作辅助函数:辅助函数:Lagrange中值定理Rolle中值定理推论1证证毕推论2证证毕定理4Cauchy中值定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理La

2、grange中值定理Rolle中值定理证令方法1证毕方法2令几何解释:例1证例2证证例3例4证由上式得3.2洛必达法则定义例如:定理1证明略定理2证明略例1例2例3例4例5注意：洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6例7注意：例81)对于其它类型的不定式,不能直接应用洛必达法则,步骤:必须先将它化为或型,再用洛必达法则!例9步骤:步骤:例10记作例11例12利用洛必达法则也可计算数列的不定式极限.因此，对于数列的不定式极限，可先转化为函数的不定式极限.利用洛必达法则对后者求极限，则前者的极限亦然.小结洛必达法则3.3泰勒公式

3、与函数的高阶多项式逼近一.泰勒公式问题的提出：问题:办法:分析2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交定理1拉格朗日型余项拉格朗日型余项证明略拉格朗日型余项马克劳林公式.注意:马克劳林(Maclaurin,1698-1746，英国)皮亚诺（Peano,1858-1932,意大利）型余项的马克劳林公式.皮亚诺型余项的解代入公式,得二.函数的高阶多项式逼近解常用函数的马克劳林公式马克劳林公式.皮亚诺型余项的拉格朗日型余项马克劳林公式.解3.4函数的单调性与凸性一.函数单调性的判别法定理1证明略注意：定理2定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的

4、，则该区间称为函数的单调区间.利用导数求函数单调区间的一般步骤：例1解单调递增区间为：列表讨论：单调递减区间为：例2解例3证例4证二.函数的凹凸性及拐点1.曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义几何意义:上凸函数曲线弧在的图形:弦的上方.几何意义:下凸函数曲线弧在的图形:弦的下方.从几何直观上看：注意:定理1证明略例1解注意:定义2注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.曲线的拐点及其求法定理2证明略方法1:例2解非拐点拐点列表讨论：方法2:证证毕例3解3.5函数的极值与最值的求法一.函数极值的判

5、别法极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.定义定理1(可导函数取得极值的必要条件)注意：例如,例如,函数的可能极值点：驻点或导数不存在的点.结论定理2(极值的第一充分条件)证证毕例1解列表讨论：定理3(第二充分条件)证证毕例2解图形如下注意:定理(第三充分条件)证明略例3解二.函数的最大值和最小值最值在区间内部取得最值在区间端点处取得最值在区间内部及端点处取得步骤:1.求驻点和不可导点:2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值;注意:如果连续函数在区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).

6、例1解驻点和不可导点：实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例2解得符合实际意义的唯一驻点制作材料最省.3.6弧微分曲率函数作图一.弧微分弧微分公式))二.曲率及其计算切线转动的角度越大曲线弯曲得越厉害.弧长相等的两曲线段，1.曲率的定义曲线的弯曲程度.)切线转角相同的两曲线段弧长越短曲线弯曲得越厉害.单位弧长切线方向变化的角度.定义)))（这里取绝对值是为了使平均曲率、曲率都是正数）2.曲率的计算公式曲率公式例1解结论：如图：弯曲得厉害.结论：圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数，且半径越小曲率越大;圆的半径结论：例2解显然,三.渐近线定义:1.垂直

7、渐近线例如：有垂直渐近线:2.水平渐近线例如:有水平渐近线两条:3.斜渐近线注意:不是任何曲线都有渐近线.解例3四.函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形的一般步骤:第一步第二步第三步第四步确定曲线的渐近线;根据以上信息描点作图.第五步例4解函数为非奇非偶函数,无对称性,列表讨论:不存在不存在极小值非拐点极大值拐点尖点作图: