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《高等数学 微分中值定理与导数的应用课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理与导数的应用1罗尔定理拉格朗日中值定理小结思考题作业柯西中值定理第一节微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用推广泰勒公式(第三节)2本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段AB上,⌒至少有与连接此曲线两端点的弦平行.几何事实:微分中值定理一点处的切线连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.有水平的切线3且存在证:设则证毕一、罗尔(Rolle)定理费马(fermat)引理4满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内
2、可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点罗尔（Rolle）定理5不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等6罗尔定理(1)(2)(3)罗尔Rolle,(法)1652-1719使得如,微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理7微分中值定理费马引理费马Fermat,(法)1601-1665有定义,如果对有那么证对于有8微分中值定理费马引理有定义,如果对有那么由极限的保号性函数的驻点(Stationarypoint),稳定
3、点,临界点(Criticalpoint).9微分中值定理证罗尔定理(1)(2)(3)使得所以最值不可能同时在端点取得.使有由费马引理,费马引理有定义,如果对有那么10(1)定理条件不全具备,注微分中值定理结论不一定成立.罗尔定理(1)(2)(3)使得11(2)定理条件只是充分的.本定理可推广为:在(a,b)内可导,且则在(a,b)内至少存在一点使提示证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.设微分中值定理罗尔定理(1)(2)(3)使得注12例证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确微分中值定理验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即
4、可.13有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例1.证明方程14闭区间上连续函数的性质例2不求函数的导数，说明方程解：可导，且在连续，使得有几个实根。由罗尔定理，至少存在又因为是二次方程，至多有2个实根，所以有且仅有2个实根，15例证零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)存在性微分中值定理16(2)唯一性对可导函数f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程的一个实根.罗尔定理还指出,至少存在方程满足罗尔定理的条件.微分中值定理矛
5、盾,故假设不真!17例试证方程分析注意到:微分中值定理18证设且罗尔定理即试证方程微分中值定理19注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理20几何解释:微分中值定理在该点处的切线平行于弦拉格朗日中值定理的有限增量形式:令则21推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点格日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.22证作辅助函数由此得拉格朗日中值公式且易知微分中值定理微分中值定理23它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地
6、位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数微分中值定理24例证如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.记利用微分中值定理,得微分中值定理25练习微分中值定理26例证由上式得设由关键微分中值定理满足拉格朗日中值定理的条件,27Lagrange公式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.微分中值定理导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.28推论证有由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等,
7、所以,微分中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得29例证由推论微分中值定理自证说明欲证只需证在上且使30柯西Cauchy(法)1789-1859柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理31柯西定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理切线斜率32罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条
