考研基础班中值定理及其应用专题课件.ppt

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1、二、洛比达法则及其应用一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章三、导数应用---研究曲线的性态1二、中值定理的应用一、几个中值定理中值定理及其应用专题：2罗尔定理：拉格朗日定理：柯西定理：1.微分中值定理一、几个中值定理3其中余项当时为麦克劳林公式.若函数内具有n+1阶导数,泰勒中值定理：4拉格朗日中值定理微分中值定理之间的相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理52.零点定理与介值定理1)零点定理：至少有一点且使(又叫根的存在定理).2)介值定理：则对A与B之间的任一数C,推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任

2、何值.63.费马定理取得极值4.积分中值定理实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.积分中值定理微分中值定理说明：牛顿–莱布尼茨公式7研究函数或导数的性态—导数的应用及求不定式的极限1.证明恒等式.2.证明不等式.3.证明有关中值问题的结论.关键:利用逆向思维设辅助函数经验1:二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤:(3)根据a<ξ

3、0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:9例1.证明不等式证:设的条件,即因为所以因此应有2.证明不等式10例2.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得113.证明有关中值问题的结论题型一.保号性定理例1.设试证：证:不妨设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在12例2.设分析：13例2.设14题型二.15例3.设分析：保号性定理证:不妨设必有保号性定理必有16例3.设17例4.设分析：想用罗尔定理时找辅助函数的方法证:18例5.设证:19题型三.例6.设分析：20例6.设解：21例6.设22例6.设23题型四

4、.24例7.设在内可导,且证明至少存在一点上连续,在分析:问题转化为证：证明：设辅助函数显然故至少使即有存在一点25例8.设证明：设辅助函数只需验证：分析:26例8.设证明：27例9.设证明：设辅助函数：只需验证：分析:28题型五.29例10.设分析:30题型六.例11.试证存在证:欲证将①代入②,化简得故有①②即要证31已知函数内可导,且证:(1)令使即(2019考研数1,2)(2)根据拉格朗日中值定理,使练习.32练习：分析：解：33总之，有关中值问题的解题方法:利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2

5、)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.34备用.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.35