高一数学教案：苏教版三角函数的周期性.pdf

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1、课题：三角函数的周期性教学目标:1．使学生理解函数周期性的概念。2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。教学重点：函数周期性的概念．教学难点：周期函数与最小正周期的意义。课时安排：一课时授课类型：新授课教学过程与设计：一、问题情境：1、引入：通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性．不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：

2、函数的周期性．2、问题：那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？二、建构数学（一）、周期函数定义1、我们先看函数周期性的定义．定义对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．2、需要注意的几点：①T是非零常数。②任意xD，都有xTD，T0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。③任取xD，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x

3、T)f(x),成立才行周期也可推进，若T是yf(x)的周期，那么2T也是yf(x)的周期.这是因为f(2Tx)f[T(Tx)]f(tx)f(x)，若T是yf(x)的周期，kZ且k0,则kT也是f(x)的周期.即2是函数ysinx和ycosx的周期，那么2k(kZ且k0)也是ysinx和ycosx的周期.33如：sin()sin(),sin()sin(),424424但sin()sin,不是ysinx的周期.6262（二）、最小正周期的概念.对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(

4、x)的最小正周期.例如函数ysinx的周期中，2π，－2π，4π，－4π，⋯，存在最小正数2π，那么，2π就是ysinx的最小正周期.函数ycosx的最小正周期也是2π，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.第1页共3页例1．求下列函数的最小正周期T.（1）f(x)3sinx（2）f(x)sin2x1（3）f(x)2sin(x)24解：（1）f(x)3sinx3sin(x2)f(x2)T2（2）f(x)sin2xsin(2x2)sin2(x)f(x)∴函数的最小正周期为π.111（3

5、）f(x)2sin(x)2sin(x2)2sin[(x4)]f(x4)242424∴函数的最小正周期为4π.2总结一般规律：yAsin(x),yAcos(x)的最小正周期是.

6、

7、令zx，由yAsinz,zR的周期是2，2则z2x2x22因而自变量x只要并且至少要增加到x，即T。例2．求证：（1）ycos2xsin2x的周期为π；（2）y

8、sinx

9、

10、cosx

11、的周期为.2证明：（1）f(x)cos2(x)sin2(x)cos(22x)sin(22x)cos2xsin2xf(x)ycos2xsin2x的周期是（2）f(x)

12、

13、sin(x)

14、

15、cos(x)

16、cosx

17、

18、sinx

19、

20、sinx

21、

22、cosx

23、f(x)222∴y

24、sinx

25、

26、cosx

27、的周期是.2总结：（1）一般函数周期的定义（2）yAsin(x),yAcos(x)周期求法课堂教学设计说明函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引

28、导，使学生对概念的理解逐步深入布置作业：练习2，习题1.31第2页共3页第3页共3页