高中数学选修2-2课时练习第三章 1_2.docx

《高中数学选修2-2课时练习第三章 1_2.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．2　函数的极值[学习目标]1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y

2、＝f(x)的导数的符号有什么规律？答　以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.[预习导引]1．函数的极值(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大

3、值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．函数的单调性与极值已知函数的图像在(a，b)上是一条连续不断的曲线，(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是递增的，在区间(x0，b)上是递减的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是递减的

4、，在区间(x0，b)上是递增的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　求函数的极值例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．解　f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)

5、＝－.规律方法　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．跟踪演练1　求函数f(x)＝＋3lnx的极值．解　函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝

6、1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)3因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.要点二　已知函数极值求参数的值例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由

7、根与系数的关系，得又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)如(1)知f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.规律方法　(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因

8、为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解之得或当