高中数学选修2-2课时练习第四章 1_2.docx

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1、1.2　定积分[学习目标]1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．[知识链接]定积分和曲边梯形的面积有什么联系？答　函数f(x)的图像和直线x＝a，x＝b以及x轴围成的曲边梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得到，当分割成的小区间长度趋于零时，曲边梯形的面积趋于某一个固定的常数A，A就是f(x)在[a，b]上的定积分．[预习导引]1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份．分点为a＝x0

2、－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝A.其中∫叫作积分

3、号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，x轴和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)1dx＝b－a；(2)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(3)[f(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

4、1)dx.解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，其面积为S＝·π·32.由定积分的几何意义知dx＝π.(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴(3x＋1)dx＝××(3×3＋1)－×2＝－＝16.规律方法　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪演练1　根据定

5、积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)∫cosxdx；(3)

6、x

7、dx.解　(1)如图(1)，xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图(2)，cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴

8、x

9、dx＝2A1＝2×＝1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)要点二　定积分性质的应用例2　计算(－x3)dx的值．解　如图，由定积分的几何意义得dx＝＝，x3dx＝0，由定积分性质得(－x3)dx＝dx－x3dx＝.规律方法　根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质

10、、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪演练2　已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.解　(1)3x3dx＝3x3dx＝3(x3dx＋x3dx)＝3×＝12；(2)6x2dx＝6x2dx＝6(x2dx＋x2dx)＝6×＝126；(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝7－＝－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知xdx＝2，则∫tdx等于(　　)A．0B．2C．－1D．－2答案　D解析　可以根据定积分的几何意义进行判断

11、．2．定积分exdx的几何意义是___________________________________．答案　由直线x＝1，x＝3，y＝0和曲线f(x)＝ex围成的图形的面积3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：(1)xdx________x2dx；(2)dx________2dx.答案　>　<4.dx＝________.答案　解析　根据定积分的几何意义，dx表示x2＋y2＝1(y≥0)与x轴围成的面积的一半，所以dx＝.1．定积分f(x)dx是一个确定的常数，和积分变量无关．2．当f(x)≥0时f(x)dx表示由曲线y＝f(x)、直线x＝a、x

12、＝b与x轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积