高中数学选修2-2课时练习第一章 1_2.docx

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1、1.2　类比推理[学习目标]1．通过具体实例理解类比推理的意义．2．会用类比推理对具体问题作出推断．[知识链接]类比推理的结论能作为定理应用吗？答　不能．因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用．[预习导引]1．类比推理(1)类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．(2)类比推理的特征类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比．(3)结论真

2、假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的．(4)思维过程流程图：―→―→2．合情推理(1)合情推理的含义根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．(2)思维过程流程图―→―→―→3．演绎推理根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．要点一　平面图形与空间图形的类比例1　三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单

3、的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解　三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第

4、三边四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心规律方法　将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练1　类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(　　)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都

5、相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．①B．①②C．①②③D．③答案　C解析　由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．要点二　解题方法的类比例2　已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，…22－12＝2×1＋1，有

6、(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝＝.类比以上过程求12＋22＋32＋…＋n2的和．解　因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝＝＝.规律方法　典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生总结、反思、举一反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力和灵活应用知识的能力．而解决问题需要我们展开丰富

7、的联想，利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难度，先解决较简单的问题，再类比到复杂问题，常常可达到柳暗花明的成效．跟踪演练2　设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．答案　3解析　本题要求类比课本中等差数列的求和方法，即“倒序相加法”．令t＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，则t＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，两式相加，类似于等差数列的情形，易得t

8、＝3.要点三　等差数列与等比数列的类比例3　在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？解　在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a