高中数学选修2-2教案第三章 1_2.docx

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1、1.2　函数的极值明目标、知重点1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小

2、值．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．[情境导学]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一　函数的极值与导数的关系思考1　如图观察，函

3、数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答　以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.小结　思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)

4、叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．思考2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答　函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考3　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答　可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0

5、两侧f′(x)的符号不同．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．例1　判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．(1)y＝8x3－12x2＋6x＋1；(2)y＝x

6、x

7、；(3)y＝1－(x－2).解　(1)∵y′＝24x2－24x＋6，令y′＝0，即24x2－24x＋6＝0，解得x＝，当x>时，y′>0；当x<时，y′>0.∴此函数无极值．(2)显然函数y＝x

8、x

9、在x＝0处不可导，且y＝当x>0时，y＝x2是单调增函数

10、；当x<0时，y＝－x2也是单调增函数．故函数y＝x

11、x

12、在x＝0处无极值．另外，∵当x>0时，y′＝2x，y′＝0无解；当x<0时，y′＝－2x，y′＝0也无解，∴函数y＝x

13、x

14、没有极值．(3)当x≠2时，有y′＝－(x－2)－.当x＝2时，y′不存在，因此，y′在x＝2处不可导．但在点x＝2处的左右附近y′均存在，当x<2时，f′(x)>0；当x>2时，f′(x)<0.故y＝f(x)在点x＝2处取极大值，且极大值为f(2)＝1.反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)

15、用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．跟踪训练1　求函数f(x)＝＋3lnx的极值．解　函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减3单调递增因此，当x＝1时，f(x)有极小值

16、f(1)＝3.探究点二　已知函数极值求参数的值思考