高中数学选修2-2教案第四章 1_2.docx

《高中数学选修2-2教案第四章 1_2.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.2　定积分明目标、知重点1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份．分点为a＝x0

2、x2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝A.其中ʃ叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，x轴和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)ʃ1dx＝b－a；(2)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)d

3、x(k为常数)；(3)ʃ[f(x)±g(x)]dx＝ʃf(x)dx±ʃg(x)dx；(4)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

4、积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即ʃf(x)dx＝ʃf(t)dt＝ʃf(u)du.(3)用定义求定积分的一般步骤：①分割：n等分区间[a，b]．②取点：取[xi－1，xi]上的最大值点ξi，最小值点ζi.③求和：S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξn)Δxn，s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζn)Δxn，④作差S－s.⑤当区间长度d→0时，S－s→0，且S→A，s→A，则A＝ʃf(x)dx.探究点二　定积分的几何意义思考1　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？答　当函数f(x)≥0时，

5、定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a0，f(ξi)≤0，故f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图像及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面

6、积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.例1　用定积分的几何意义求：(1)(3x＋2)dx；(2)(3)(

7、x＋1

8、＋

9、x－1

10、－4)dx；(4)dx(b>a)．解　(1)如图1阴影部分面积为＝，从而(3x＋2)dx＝.(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，从而＝0.(3)令f(x)＝

11、x＋1

12、＋

13、x－1

14、－4，作出f(x)在区间[－3,3]上的图像，如图3所示，易知定积分f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，∴(

15、x＋1

16、＋

17、x－1

18、－4)dx＝1＋1－6＝－4.(

19、4)令y＝f(x)＝，则有(x－)2＋y2＝()2(y≥0)，f(x)表示以(，0)为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝πr2＝()2＝，由定积分的几何意义可知dx＝.反思与感悟　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练1　根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃxdx；(2)ʃcosxdx；(3)ʃ

20、x

21、dx.解　(1)如图(1)，ʃ