高中数学选修2-2课时练习第四章 2.docx

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1、§2　微积分基本定理[学习目标]1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．[知识链接]1．导数与定积分有怎样的联系？答　导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在上面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答　根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中S＝f(x)dx，图(2)中S＝－f(x)dx，图(3)中S＝f(x)dx－f(x)dx.[预习导引]1．函数的原函数如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即

2、F′(x)＝f(x)，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．2．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有f(x)dx＝F(b)－F(a)．定理中的式子称为微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　求简单函数的定积分例1　计算下列定积分：(1)3dx；　(2)(2x＋3)dx；(3)(4x－x2)dx；　(4)(x－1)5dx.解　(1)因为(3x)′＝3，所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)＝22＋3×2－(

3、02＋3×0)＝10.(3)因为′＝4x－x2，所以(4x－x2)dx＝＝－＝.(4)因为′＝(x－1)5，所以1(x－1)5dx＝(x－1)6＝(2－1)6－(1－1)6＝.规律方法　(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.跟踪演练1　求下列定积分：(1)(3x＋sinx)dx；(2)dx.解　(1)∵′＝3x＋sinx，∴(3x＋sinx)dx＝＝－＝＋1；(2)∵(ex－ln

4、x)′＝ex－，∴(ex－)dx＝＝(e2－ln2)－(e－0)＝e2－e－ln2.要点二　求较复杂函数的定积分例2　求下列定积分：(1)(1－)dx；　(2)2cos2dx；(3)(2x＋)dx.解　(1)∵(1－)＝－x，又∵＝－x.∴(1－)dx＝＝－＝－.(2)∵2cos2＝1＋cosx，(x＋sinx)′＝1＋cosx，∴原式＝(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)＝＋1.(3)∵′＝2x＋，∴(2x＋)dx＝＝－＝＋2.规律方法　求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数

5、适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差．(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪演练2　计算下列定积分：(1)(sinx－sin2x)dx；(2)ex(1＋ex)dx.解　(1)sinx－sin2x的一个原函数是－cosx＋cos2x，所以(sinx－sin2x)dx＝＝－＝－.(2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x，∴′＝ex＋e2x，∴ex(1＋ex)dx＝dx＝＝eln2＋e2ln2－e0－e0＝2＋×4－1－＝.要点三　定积分的简单应用例3　已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)

6、的最大值．解　∵′＝2ax2－a2x，∴(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2，即f(a)＝a－a2＝－＋＝－2＋，∴当a＝时，f(a)有最大值.规律方法　定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．跟踪演练3　已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．解　由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx＝＝a＋b＋c，∴a

7、＋b＋c＝－2，③由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.要点四　求分段函数的定积分例4　计算下列定积分：(1)若f(x)＝，求f(x)dx；(2)

8、x2－4

9、dx.解　(1)f(x)dx＝x2dx＋(cosx－1)dx，又∵′＝x2，(sinx－x)′＝cosx－1∴原式＝x3＋(sinx－x)＝＋－(sin0－0)＝－.(2)∵

10、x2－4

11、＝又∵′＝x2－4，′＝4－x2，∴

12、x2－4

13、dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝－0＋(9－12)－＝.规律方法　(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分