高中数学选修2-2课时练习第三章 1_1.docx

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1、§1　函数的单调性与极值1．1　导数与函数的单调性[学习目标]1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．[知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答　根据导数的几何意义，可以用曲线切线

2、的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．[预习导引]1．导函数符号与函数的单调性之间的关系如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＞0，则在这个区间内，函数y＝f(x)是递增的．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＜0，则在这个区间内，函数y＝f(x)是递减的．2．利用导数求函数的单调区间利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(

3、1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　利用导数判断函数的单调性例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．证明　f′(x)＝，又x∈，则cosx<0，sinx＞0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．规律方法

4、　关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪演练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又00，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．要点二　利用导数求函数的单调区间例2　求下列函

5、数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(00，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－3

6、，π)．(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·＞0，解得－＜x＜0或x＞.又∵x＞0，∴x＞.令f′(x)＜0，即2·＜0，解得x＜－或0＜x＜.又∵x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(4)f′(x)＝3x2－3t，令f′(x)≥0，得3x2－3t≥0，即x2≥t.∴当t≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数的单调递增区间是(－∞，＋∞)．当t>0时，解x2≥t得x≥或x≤－；由f′(x)≤0解得－≤x≤.故函数f(x)的单

7、调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间是(－，)．规律方法　求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)定义域内满足f′(x)＞0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)＜0的区间为减区间．跟踪演练2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝x3－x2－x.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－，由f′(x)＝2x－＞0且x＞0，得x＞，所以函数

8、f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．由f′(x)＞0得x＜－或x＞1；由f′(x)＜0得－＜x＜1，故函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.要点三　已知函数单调性求参数的取值范围例3　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．解　f′(x)＝2x－＝.要使f(x)在[2，＋∞)上