高中数学选修2-2课时练习第三章 2_2（一）.docx

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1、2．2　最大值、最小值问题(一)[学习目标]1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．[知识链接]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值

2、，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．[预习导引]1．最值点的概念(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值的概念函数的最大值和最小值统称为最值．3．最值点的可能位置函数的最值可能在极值点取得，也可能在区间的端点取得．4．求函数的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各

3、极值与f(a)，f(b)比较．其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.要点一　求函数在闭区间上的最值例1　求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1，0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5∴当x＝－

4、3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.规律方法　(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连

5、续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪演练1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．解　(1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值－.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(

6、x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2，x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.要点二　含参数的函数的最值问题例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0<<2，即0

7、，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max＝综上所述，f(x)max＝规律方法　由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2　在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？解　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；②当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；③当－1

8、