高中数学选修2-2教案第三章 2_2(二).docx

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1、2.2　最大值、最小值问题(二)明目标、知重点1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．解决优化问题的基本思路　　→　　　　　　　　　　　　　　　　←上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．探究点一　面积、体积的最值问题思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？答　(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意

2、义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解　设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.求导数，得S′(x)＝2－.令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(

3、16，＋∞)时，S′(x)>0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1　如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游

4、乐园的面积最大？并求出最大面积．解以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)．设抛物线方程为y2＝2px.∵点D在抛物线上，∴22＝8p，解得p＝.∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4)．设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，则

5、PQ

6、＝2＋y，

7、PN

8、＝4－y2.∴矩形游乐园的面积为S＝

9、PQ

10、×

11、PN

12、＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.求导得S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，得3y2＋4y－4＝0，解得y＝或y＝－2(舍)．当y∈时，S′>0，函数S为增函数；当y∈时，S′<0，函数S为减函数．∴当y＝时，S有最大值，得

13、PQ

14、＝2＋

15、y＝2＋＝，

16、PN

17、＝4－y2＝4－2＝.∴游乐园最大面积为Smax＝×＝(km2)，即游乐园的两邻边分别为km，km时，面积最大，最大面积为km2.探究点二　利润最大问题例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，0

18、＝0.解得r＝2，(r＝0舍去)．当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．所以半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm时，利润最大．反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2　某商场销售某种商品

19、的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3