一个非齐次临界Neumann问题的多正解.pdf

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1、胤㈣程黪诎数学物理学报2013，33A(4)：661—672http：／／actams．wipm．ac．cn一个非齐次临界Neumann问题的多正解术张亚静郝江浩(山西大学数学科学学院太原030006)摘要：证明了一个带有临界Sobolev指数的非齐次Neumann问题的两个正解的存在性关键词：椭圆方程组；上下解方法；变分法；临界Sobolev指数．MR(2000)主题分类：35J25；35J60中图分类号：0175．2文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)04—661—121引言本文研究下

2、面的非齐次椭圆方程组的临界Neumann问题Au+Au羔“IuI一2川卢+州巩z∈Q，Av+“"=JuI卢-2+cg(z)，z∈Q．(1．1)石2十9。Iul。u塑0n=塑0n=。uz∈aQ其中Q是RⅣ(Ⅳ23)中一个具有光滑边界的有界区域，n是边界aQ上的单位外法向量，A>0，p>0是参数，Q>1，卢>1满足a+p=2+，此处28=硒2N是临界Sobolev指数．关于齐次情形，即f=g=0，已经被许多学者所研究，可参看文献[1—3]．Chabrowski和Yang[1]研究了下面的问题△U+Au=南Q(z

3、)uIuPmz∈QAv+“u=南∞)l“I。uIuI肛2，z∈Q(1．2)丝0n=塑0n=。uz∈aQ．其中系数Q在豆上是HSlder连续的，并且当z∈豆时Q(x)>0，他们获得了最小能量解的存在性并且研究了当A一。。和肛一。。时这些解的集中现象．后来，Deng和Yang[2]研究收稿日期：2012—08—27；修订日期：2013—06—08E—mail：zhangyj@sxu．edu．cn；hjhao@sxu．edu．cn+基金项目：山西省自然科学基金(2009011008)、山西省回国留学人员科研项目(

4、2011—005)和山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划资助662数学物理学报Vbl．33A了外部区域上的Neumann问题(1．2)，即一Au+Au=熹Q(z)u"一2坩，z∈Q。，Q+D一△"+肛"=熹∞)㈦叫卵～，z∈Q。，(1．3)a仳au一{o，z∈aQ。，丽2磊2其中Q。=RⅣ＼Q．他们考察了边界aQ的平均曲率和系数Q(x)对于最小能量解存在性的一般影响．Cao和Han在文献[3]中建立了下面齐次Neumann问题具有高能量的正解的存在性一一Au++Au=：羔二小之“I一I札2I一川2卢川卢

5、，，z∈Q，Q+D也Ⅷ=羔{印小P2，X∈Q，(1．4)a+上)塞=嘉扎X∈0Q．蛐㈡>专掣，其中厶，“是与方程组(1．4)相应的能量泛函，定义如下‰㈦沪孙V砰们"12+Au2+#v2№一南1卵川‰，并且5么，p=inr<{≥与要；兰嚣：c札，u，∈硪cQ，×点略cQ，，t／￡f札f。fuf卢dz≠。)．最近，Han在文献[4]中考虑了下面的具有Dirichlet边界条件的椭圆方程组-Auz羔札川一2川卢+州巩z∈Q，(1．5)卜一南I妒小P2托如h印，并且证明在适当条件下(1．5)式存在多正解．令OL=卢

6、，u=V，f=9．那么方程组(1，1)化为半线性椭圆方程l一△“+A札=Iul2+一2u+f，z∈Q，1(1’6)妻扎z咖．Tarantello[5]证明了当f∈L2Ⅳ／(Ⅳ+2)(Q)并且满足其它一些条件时非齐次Neumann问题(1．6)存在三个解，其中一个解是变号的．程(1．6)的齐次情形，即f=o，已经被许多学者所研究，参看文献f6--81以及相关的文献．No．4张亚静等：一个非齐次临界Neumann问题的多正解663受文献[45]的启发，我们研究问题(1．1)多正解的存在性．我们的主要结果如下．定

7、理1．1假设0=>1，∥>1，o≤f，gEC1(丽)，f(x)≠o，9(z)≠o，X∈Q．那么存在一个数￡+>0使得对一切E∈(0，￡+)，问题(1．1)存在一个极小解(u。，V。)满足(i)当E一0时，I(乱。，魄)I。。一o；(ii)(tt。，V。)关于E∈(0，E+)是单增的；但是如果f(x)+g(x)≠o，X∈Qo，此处frOCCQ是任意给定的满足meas(Qo)>0的子集，那么当￡>￡+时，问题(1．1)无解．定理1．2设N之5，Q>1，卢>1，Q+卢=2+，0≤t厂，g∈C1(豆)，f(x)≠0

8、，g(x)≠o，XEQ．那么存在￡oE(0，￡+)使得对所有￡∈(o，"C0)，问题(1．1)存在第二个解(西，可)使得在Q上成立u。<瓦，V。<西．注1．3定理1．2对于次临界情形(即将Q+卢=2+替换为Q+卢<2+)仍然是成立的．事实上在这样一种情形下紧性是存在的，并且证明较为容易一些．文章结构安排如下：在第二节，我们通过上下解方法证明问题(1．1)的极小解的存在性；在第三节，我们通过变分法证明问题(1．1)