具有非齐次边界条件的问题.ppt

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1、对于如下泊松方程的边值问题而言：补充(P)(P1)思路1将问题(P)的解看成两部分，令和分别满足1(P1)(P2)和固有函数法分离变量法(或试探法)对于如下泊松方程的边值问题而言：补充(P)2(Q)思路2(1)找出此泊松方程的一个特解令(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程可用分离变量法或试探法求解问题(Q)对于如下泊松方程的边值问题而言：补充(P)3几种常见的固有函数系的形式(1)(2)(3)(4)以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域上的泊松方程是适用的。圆域上的泊松方程对应的固有函数系为(5)小结4固有函数法的解题步骤：小结1.将所考虑的定解问题的解按固有函

2、数系展开2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附加条件。然后求解常微分方程的初值问题。注意：若是泊松方程则需借助有界性和边界条件52.5具有非齐次边界条件的问题本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。处理这类问题的基本原则是：无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数的方法。（也可称为辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取函数代换通过函数代换使得对于新的未知函数而言，边界条

3、件是齐次的。6考察定解问题：(80)(81)(79)通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，为此令(82)并选取辅助函数使新的未知函数满足齐次边界条件，即(83)由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要(84)7(80)(81)(79)(82)(84)其实满足(84)中两个条件的函数是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为的一次式，即设由条件(84)确定得8(80)(81)(79)(82)于是可得因此，令(85)则问题(79)-(81)可化成的定解问题9(80)(81)(79)(86)其中(85)10(80)(81)(79)(86)(85)将问题(86)的解代

4、入即得原定解问题问题(79)-(81)的解。11(79)(4)(3)(2)(1)若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法把非齐次边界条件化成齐次的。我们就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数的表达式：以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。12求解下列问题：(87)例1(88)解选取辅助函数令则问题(87)化成13(89)(88)应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设利用2.4.2节中推得公式(64)可知再利用2.4.2节中推得公式(62)可知14再将代入(90)即得把(90)代入(89)可得因此，原问题(87)的解为15特别值得注意的是，对于

5、给定的定解问题，例如：如果方程中的自由项和边界条件中的都与自变量无关，在这种情形下，我们可以选取辅助函数通过函数代换使方程与边界条件同时化成齐次的。16求解下列问题：(91)例2解设问题的解为(92)将(92)代入问题(91)中的方程，即得为了将此方程化成齐次的，自然选取满足17求解下列问题：(91)例2解(92)再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得为了将的边界条件也化成齐次，则满足18(94)(93)(91)(92)这样由代换问题(91)化为下面两个问题：和19(93)问题(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为将求得的代入问题(94)(*)20(*)(1

6、4)(15)利用公式其中系数满足21那么其中系数计算可得22(94)于是，问题(94)的解为因此，原问题(91)的解为23求解下列问题：(91)例2另解选取辅助函数令代入问题(91)得(*)24由2.4.1节的分析可设而且和分别满足如下定解问题(I)(II)(*)25(II)利用2.1节中的公式(14)(15)可算得其中系数为则问题(II)的解为26(I)应用固有函数法求问题(I)的解。为此，令利用2.4.1节中推得公式(53)可知再利用2.4.1节中推得公式(51)可知27(I)当时，当时，28(I)则得问题(I)的解为将问题(II)的解和辅助函数以及问题(I)的解

7、加在一起，则得原问题(91)的解：29内容小结1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：当方程和边界条件均为齐次时，●不管初值条件如何，可直接应用分离变量法求解；当边界条件为齐次、●方程与初始条件为非齐次时，原定解问题分解成两个，其一是方程为齐次的并具有原初始条件的定解问题，这个问题应用分离变量法求解；其二是方程为非齐次的并具有齐次初始条件的定解问题，该问题应用固有函数法求解；30内容小结1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：当边界条件为非齐次时，●则必须引进辅助函数把边界条件化为齐次的，然后再按照以前的方法求解。分离变量法、固有函数法、