资源描述：
《D6-3-非齐次方程及齐次边界条件的定解问题ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例1求解一端自由的半无限长杆的自由纵振动(1)(2)(4)(3)行波法例题(5)(6)其中：C=f1(0)–f2(0)解：(1)式的通解为故由(2)式有由(3)式有即解(5)、(6)式得(7)(8)以上二式均是在0≤x<∞的前提下推得的。因为x+at总是大于、等于零的，故由(7)式有(9)至于x–at就不一定是大于零了。(I)若x–at≥0，则由(8)式，有(II)若x–at<0，则(8)式不能用。但将(4)式代入通解，得(10)令x–at<0，并对上式从0到x积分，得到即(11)故(11)(7)(12)将(9)、(10)、(1
2、2)各式一并代入通解，得(13)例2求解定解问题(1)(3)(2)解(1)式的通解为(4)故类似于上例解法一，由(2)、(4)式可得(6)(5)从而有(7)且当x–at≥0时，有(8)当x–at≤0时，(6)式不能用，但由边界条件(3)、(1)的通解(4)有(9)所以，此时由(9)式可得(5)(10)即将(7)、(8)、(10)各式一并代入(4)式，得6.3非齐次方程及非齐次边界条件前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力的作用，振动纯粹是由位移和初速度引起的。驱动力：方程非齐次边界非齐次如何求解？补充非齐次方程(1)设y1
3、(x),y2(x)是与式(1)相应的齐次方程y''+py'+qy=0的线性无关的特解。(I)非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。(II)常系数变易法。将C1变为u(x)，C2变为v(x)，即设式(1)的解具有下述形式：(2)将它代入式(1)，得到确定u(x)与v(x)的一个条件(3)确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定u(x)，v(x)的条件。为此，对式(2)两边求导，得为方便起见，第二个条件规定上式第二项为零，即(5)(4)将式(5)代入式(3)，并利用y1(x)及y2(x)是齐次方程的解，
4、即有将式(5)和式(6)联立，即可求出：(6)(7)式中Δ(y1,y2)=y'2y1–y2y'1为朗斯基行列式。用ξ表示式(7)中的x，再对ξ由0到x积分，得到(8)将式(8)代入式(2)即得式(1)的通解为(9)[例1]求解常微分方程的初值问题(11)(10)解：与式(10)相应的齐次方程T‘’n(t)+γ2T(t)=0的线性无关的特解为cosγt和sinγt，朗斯基行列式为代入式(9)便有(12)将式(12)代入式(11)，可得C1=φn,C2=ψn/γ。再将C1及C2代入式(12)即得解。现在研究：一、有外力作用的情况为了
5、把外力作用引起的振动和初值引起的振动区别开，考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次的，边界条件和初始条件是齐次的。例：求两端固定弦的受迫振动的规律(6-3-1)(6-3-2)(6-3-3)解：对于非齐次方程(1),如果直接用分离变量的方法,设特解u(x,t)=X(x)T(t),不能把方程(1)化为两个常微分方程。但其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系，可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)对展开，有(6-3-4)(6-3-5)(6-3-6)其中：把(4)和(5)代入(1)，得求u(x,t)的问题变为在初始条件(
6、8)下解非齐次常微分方程。由常数变易法可求得由(6-3-3),(6-3-4)可得到初始条件再由的正交性可得把(6-3-9)代入(6-3-4)式，即为所求。(6-3-9)(6-3-7)(6-3-8)例：求解下列定解问题解方法一：用相应齐次方程的本征函数展开的方法设解为将非齐次项展开，这时只有一项，即将它们代入原方程及边界条件，即得易解得因此，得解为方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程有特解设解为v(r,φ)应该满足如下定解问题其一般解为由边界条件定出系数解得于是，求得二、非齐次边界条件的处理定解问题：(6-3-10)(6-3-11
7、)(6-3-12)思路：把非齐次边界条件齐次化(1)设：u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)w(x,t)满足u(x,t)的边界条件，即w(0,t)=u1(t)w(l,t)=u2(t)于是v(0,t)=0v(l,t)=0(6-3-13)(6-3-14)(6-3-15)(6-3-16)(2)求解v(x,t)的定解问题满足条件(6-3-14)的w(x,t)很多,最简单的是设w(x,t)为x的线性函数：w(x,t)=A(t)x+B(t),由条件(6-3-14)可得此类问题属于非齐次方程、齐次边界条件问题，已解决。由于w(x,t)的选
8、取有一定的任意性，故用以上方法得到的解将随w(x,t)的不同而不同。但可证明对定解问题(6-3-10)–(6-3-13)的解是唯一的；(2)这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、第三类边值问题也可齐次化。说明：例长为l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题，它的x
