双连续n次积分C半群与非齐次抽象Cauchy问题.pdf

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1、第31卷第2期河南科学Vol.31No.22013年2月HENANSCIENCEFeb.2013文章编号：1004-3918（2013）02-0140-04双连续ｎ次积分Ｃ半群与非齐次抽象Ｃａｕｃｈｙ问题冯韩梅，赵华新（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００）摘要：讨论了双连续ｎ次积分C半群在非齐次抽象Ｃａｕｃｈｙ问题上的应用.关键词：双连续ｎ次积分C半群；生成元；积分解；抽象Ｃａｕｃｈｙ问题中图分类号：O177.2文献标识码：AＢｉ－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓn－ｔｉｍｅｓＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ－ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓａｎｄｔｈｅＮｏｎ－ｈｏｍｏｇ

2、ｅｎｅｏｕｓＡｂｓｔｒａｃｔＣａｕｃｈｙPｒｏｂｌｅｍＦｅｎｇＨａｎｍｅｉ，ＺｈａｏＨｕａｘｉｎ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，Ｙａｎ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎ’ａｎ７１６０００，ShaanxiＣｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅbｉ－ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓn－ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ－ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓｔｏｔｈｅnｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓaｂｓｔｒａｃｔＣａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉ－ｃｏｎ

3、ｔｉｎｕｏｕｓｎ－ｔｉｍｅｓｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＣ－ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ；ｇｅｎｅｒａｔｏｒ；ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｔｈｅaｂｓｔｒａｃｔＣａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍ算子半群是泛函分析的一个重要分支，主要研究各种类型的算子半群和它们生成元的特性，以及指数公式的各种表达形式．这个理论在发展型方程、算子逼近论以及控制理论中有着广泛的应用．本文将讨论双连续n次积分C半群在非齐次抽象Ｃａｕｃｈｙ问题上的应用．考虑Ｃａｕｃｈｙ问题!du（t）#=Au（t）+C（ft），0

4、h空间，所有算子都是线性算子，I∈L（X）为恒等算子，C∈L（X）且C为单射，L（X）表示X上的有界线性算子全体．I=［0，T），G（n，M，ω，C）表示全体指数有界的双连续n次积分C半群．0[2]定义1设C∈L（X）且为单射，算子族｛S（t）：t≥0｝哿L（X），如果①S（0）=0，S（t）C=CS（t），t≥0；②对坌x∈X，t，s≥0，有s+ts1n-1n-1S（t）S（s）=［t-乙（s+t-r）S（r）Cxdr-（t-乙（s+t-r）S（r）Cxdr）］；（n-1）！t0收稿日期：2012-12-05基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项

5、目（12JK0891）作者简介：冯韩梅（１９８７－），女，陕西佳县人，硕士研究生，研究方向为应用泛函分析通信作者：赵华新（１９64－），男，陕西延长人，教授，硕士研究生导师，研究方向为应用泛函分析.2013年2月冯韩梅，等：双连续ｎ次积分Ｃ半群与非齐次抽象Ｃａｕｃｈｙ问题-１４１-③｛S（t）：t≥0｝强t-连续，即对每一个x∈X，映射taS（t）xt-连续；④｛S（t）：t≥0｝局部等度双连续；⑤｛S（t）：t≥0｝指数有界．则称｛S（t）：t≥0｝为指数有界的双连续n次积分C半群．[2]定义2线性算子A称为双连续n次积分C半群｛S（t）：t≥0｝∈G

6、（n，M，ω，C）的生成元，如果nttD（A）=｛x∈X：埚唯一y，有S（t）x-Cx=t-乙S（r）ydr｝，Ax=y，坌x∈D（A）．n！0定义３令f：I→X为Bochner可积，（vt）∈C（I，X）是方程（１）的一个积分解，如果它满足：00t①t-乙（vr）dr∈D（A）；0nttnt（t-r）②（vt）-Cx=A（t-乙（vr）dr）-（t-乙C（fr）dr），t∈I0．n！00n！[2]引理1设A是双连续n次积分C半群｛S（t）：t≥0｝的生成元，如果u（t）：［0，∞）→X连续并且满足：tt乙u（s）xds∈D（A）和A乙u（s）

7、xds=u（t），那么u（t）=0，t≥0．00２主要结论先讨论方程（１）在一般意义下之解．即（１）的一个解是指满足u（t）∈C（′I，X），u（t）∈D（A），且使方程（１）0成立的一个向量值函数u（t）．设S（t），t∈I是由A生成的双连续n次积分C半群，（ft）∈C（′I，X），令00t（vt）=S（t）x+（t-乙S（r）C（ft-r）ds），（２）0可得到如下结论：n+1-1（n）n+1定理１如果方程（１）有解u（t），则有v（t）∈C（I，X）且u（t）=Cv（t）．反之，如果v（t）∈C（I，X），00-1（n）则u（t）=Cv

8、（t）是方程（１）的解．证明设t∈I，对于s∈［0，t］，令w（s）=S（t-s