6、(n,M,ω,C)的生成元,如果ntt D(A)={x∈X:埚唯一y,有S(t)x-Cx=t-乙S(r)ydr},Ax=y,坌x∈D(A).n!0定义3令f:I→X为Bochner可积,(vt)∈C(I,X)是方程(1)的一个积分解,如果它满足:00t①t-乙(vr)dr∈D(A);0nttn t (t-r) ②(vt)-Cx =A(t-乙(vr)dr)-(t-乙C(fr)dr),t∈I0.n!00n![2]引理1设A是双连续n次积分C半群{S(t):t≥0}的生成元,如果u(t):[0,∞)→X连续并且满足:tt乙u(s)xds∈D(A)和A乙u(s)
7、xds=u(t),那么u(t)=0,t≥0.002主要结论先讨论方程(1)在一般意义下之解.即(1)的一个解是指满足u(t)∈C(′I,X),u(t)∈D(A),且使方程(1)0成立的一个向量值函数u(t).设S(t),t∈I是由A生成的双连续n次积分C半群,(ft)∈C(′I,X),令00t(vt)=S(t)x+(t-乙S(r)C(ft-r)ds),(2)0可得到如下结论:n+1-1(n)n+1定理1如果方程(1)有解u(t),则有v(t)∈C (I,X)且u(t)=C v (t).反之,如果v(t)∈C (I,X),00-1(n)则u(t)=C v