关于n次对称群与交代群.pdf

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1、1999年12月内蒙古教育学院学报(自然科学版)Dec
1999第12卷
第4期JoumalofInnerMongoliacollegeofEducation(NaturlScienecEdition)Vol
12No
4关于n次对称群与交代群司桂荣(兴安盟电大
邮编137400)

内容摘要
本文给出收集对称群Sn和交代群An生成方式与性质。关键词
对称群
交代群[中图分类号]
O152.2
[文献标识码]
A
[文章编号]
1008-7451(1999)-04-0008-03

n次对称群Sn作为置换的特殊重要类型有独特(12)(13)(1n);(i

2、j)=(1
i)(1
j)的性质,而它的生成系直观并且多样,本文在此收(1
i)集并推导出了二十三种。另外,作为Sn的特例n所以{(12),(13),(1n)}是Sn的生次交代群An有许多性质散落在众多文献中,笔者成系。将它们集中起来系统地进行论述。命题4{(123),(124),,(12n),(12)}是Sn的生成系。一、Sn的生成系证明:由定理1知(123)=(12)(13)而(12)(123)=(12)(12)(13)=(13),同定理
每一个n个元的置换
都可以写成若干理(12)(12n)=(1n),对所有K=1,2,个没有共同数字的(不相连的

3、)循环置环的乘积。,n均有(1K)=(12)(12K),所以{(1定理1
任何循环等于若干个对换之积。2),(13),,(1n)}可由{(123),(1定理2
任何置换等于若干对换之积。2n),(12)}生成,而{(12),(13),,(1定理3
(ij)=(j
j-1)(i+2
i+1)n)}是Sn生成系,所以{(123),(124),,(i
i+1)(i+1
i+2)(j-1
j)其中i

4、是命题1
Sn所有对换构成的集合是Sn的生成Sn的生成系。系。证明;由定理2,对任意
!Sn,
是若干个形命题2
除恒等变换外的Sn所有元构成的集合如(ij)乘积,而由定理3当i1)生成。所以
可写成(12),(23),,(n-1n),证明:由定理1及定理3有(123n)=这n-1个2∀∀∀循环置换中若干个乘积,所以{(18司桂荣/关于n次对称群与交代群2),(23),

5、,(n-1n)}是Sn的生成系。Sn的生成n系;n&5时,{(45),(123467命题6Sn可由a=(12),b=(123n)n)}是Sn生成系,以此类推,n&6,n&7,生成,即{(12n),(12)}是Sn的生成系。命题17
{(1n),(123n-1)}是Sn生-kk证明:bab=(K+1K+2)
K#n-2若i成系。

6、a,b}与Sn重证明:∃(123n)=(23n1)=(23)合。(24)(2n)(21)同理可证以下两命题又,∃(21)=(12),由命题6可知Sn可命题7{(n1),(12n)}是Sn的生成系。由{(23),(24),,(2n),(21)}生成。命题8{(K
K+1),(12n)}是Sn的生成命题19
{(K
1),(K
2),,(K
K系。-1),(Kc
K+1),(Kn)}是Sn生成系
命题9{(n-1n),(12n-1)}是Sn的生成(K#n)系。命题20
{(123n-1),(123n)}是Sn证明:∃(123n-1)

7、(n-1n)=(12的生成系。-1n)证明:(123n)=(n
n-1
n-232%{(n-1n),(12n)}可由{(n-1n),1)-1(12n-1)}生成,由命题8可知{(n-1n),(1(123n-1)(123n)=(n-1n)2n-1)}是Sn的生成系。所以{(n-1n),(123n-1)}可由{(1命题10{(n-1n),(n-2n-1),,(34),2n-1),(12n)}生成,由命题9知{(1(123)}是Sn的生成系。2n-1),(12n)}是Sn生成系。命题11{(n-1n),(n-2n-1),,(1

8、2命题21
当n是偶函数时,{(12