群论-晶体的对称群.pdf

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1、物理学中的群论——晶体的对称群主讲翦知渐群论-晶体的对称群第二章晶体的对称群晶体点群和空间群§2.1晶体的结构和宏观对称操作§2.2晶体的第一类点群§2.3晶体的第二类点群§2.4点群与晶系的关系§2.5空间群的基本概念和性质群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作§2.1晶体的结构和宏观对称操作晶体中可能的对称操作1基元和晶格¢基元理想晶体是原子、分子或离子规则排列的固体晶体按其周期性重复的一部分原子称为基元¢晶格每个基元用一个点来代表——晶体的周期性用空间点阵描述，每个点子叫做阵点。群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作晶体的结构——晶格和基元基元是其重复的部分，主要和

2、晶体的宏观对称性相关晶格是其周期性的表现，体现了晶体的微观对称性二者是不同的，但是又是相关的，不能任意组合晶格的特点原点任取，从原点引出三个不共面的矢量a、a、a，末123端落在该方向最邻近的阵点上——取法不唯一点阵可以按a、a、a三个矢量划分成平行六面体为单元123的空间格子，称为晶格。每一个格子平均占据一个阵点群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作2原胞和单胞¢原胞晶格中最小的平行六面体重复单元就称为原胞另一种原胞：维格纳原胞——充分反映对称性平行六面体原胞的三个棱矢a、a、a：原胞基矢123¢布喇菲格子对于满足以下平移条件的空间格子，称之为布喇菲格子：τ=na+na+na

3、n112233式中τ为平移矢量，n、n、n为任意整数。n123群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作¢单胞有些的晶体无论怎样选取原胞，都不能充分反映晶体的对称性在结晶学中经常扩大晶格单元的选取，取比原胞大几倍的平行六面体作为晶格的基本重复单元，称之为单胞也叫结晶学原胞例如：铜晶体，只有选取为原胞体积4倍大的面心立方单胞才能反映它的对称性单胞的三个棱形成的基矢称为单胞基矢，记为a,b,c群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作3晶体的宏观对称操作宏观对称操作：对有限大的晶体的一个对称变换对有限大的晶体，任何平移都不能保持晶体不变——晶体的宏观对称操作不包含平移操作体系变换后不

4、变——保持一点不动——点群：O(3)群的子群1)恒等操作恒等操作即晶体的恒等变换：不对晶体做任何操作在国际符号中用1来表示，在熊夫利符号中用e表示如果用矩阵形式描述恒等操作，就是单位矩阵群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作2)转动操作：晶体绕某一个对称轴转一定角度的一个变换任何对称操作必然使得晶格在变换前后一一重合——因此晶体转动的角度不能是任意的设R为绕某个轴n的一个转动，a、a、a为过轴上一个结123点引向临近结点的三个原胞基矢，则3RRjaaji≡=∑ji，1,2,3i=1式中R为R的矩阵元。如果R为对称操作，Ra矢量的末端ijj应该落在另一个结点上，因此从上式得知矩阵

5、元R都是整ij数，所以矩阵的迹也是整数。群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作现在换一个坐标系考虑。在笛卡尔坐标系中，选择转轴n的方向为z轴，转角为θ，则转动矩阵表示为：⎡cosθθ−sin0⎤⎢⎥Rs=incθθos0⎢⎥⎢⎣001⎥⎦此时矩阵的迹为：TrR=1+2cosθ=整数因为矩阵的迹在坐标变换下不变所以θ的取值只能是θ=0°(360°)，60°，90°，120°，180°其他的取值不允许：非晶体对称操作群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作2π一般记为：θ=，n=1,2,3,4,6n——晶体的n次轴对应的国际符号：n=1,2,3,4,6熊夫利符号：c=e,c,c

6、,c,cn2346对其中任何一个操作的连续操作，显然也是对称操作如果对c作k次连续操作，记为ck；如果k=n，则cn=ennn所以，若k>n，则有ck=ck-nnn另外还有，c2=c,c2=c……4263群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作3)倒反操作：倒反操作又称空间反演，可与任何操作对易国际符号表示为：1，熊夫利符号表示为II同时也用来表示反演的对称中心对晶体的操作是将过原点的矢量r变为-r，即Ir=-r4)反射操作：相对于一个平面的反射变换国际符号中反射操作记为2或m熊夫利符号中，反射操作记为σ，或σ而n表示镜面指向n习惯上，如果镜面垂直于z轴（一般是主轴），则记为σh

7、rθ如果z轴在镜面上，则记为σvN或σθdr’群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作5)转动倒反操作：也称转动反演晶体绕对称轴转动θ角后，接着再作一次反演操作非真转动也只有五种基本的对称操作国际符号：n=123461,2,3,4,61就是反演；2就是镜面反射nk的连续k次连续操作是n因为反演操作可以和任意的转动操作对易所以当k为偶数时，nk=nk；k为奇数时，nk=Ink群论-晶体的对称群-晶体的结构和宏观对称操作熊夫利符号：采用转动反射代替转动反演