群论-三维转动群.pdf

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1、物理学中的群论——三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示§4.1拓扑群和李群§424.2轴转动群SO(2)§4.3三维转动群SO(3)§4.4二维特殊幺正群SU(2)群论-三维转动群-拓扑群和李群§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立¢定义4.1连续群的维数连续群G的元素由一组实参数a,a,…,a所标明12n其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够

2、的则该组参数中连续参数的个数l称为连续群的维数。在具体的群中，参数的取法可能不唯一群论-三维转动群-拓扑群和李群例子如下的线性变换T(a,b)x'=T(a,b)x=ax+b,a,b∈(-∞,+∞),a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(a,b)T(a,b)x=T(aa,ab+b)x，112212121封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b)=T(1/a,-b/a)，单位元是T(1,0)结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成一个连续群。群论-三维转动群-拓扑群和李群由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓

3、扑简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l维实内积空间的某个子集S有一一对应关系的群l该子集称为参数空间¢定义4.2拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群群论-三维转动群-拓扑群和李群乘法法则的连续性：对于任意xx=x,则x与x邻域中的所有12312元素相乘均属于x的邻域。3取逆法则的连续性：对于任意元素x，其邻域中的任何元素的逆均属于其逆x-1的邻域。x2xxx13-1x(a)乘法的连续性(b)取

4、逆法则的连续性群论-三维转动群-拓扑群和李群¢定义4.3简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x和x在参数空间中如果能用一条或12者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。¢定义4.4多重连通群简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重连通。k称

5、为连通度。¢定义4.5紧致群若拓扑群的参数空间是紧致空间，即闭而有界的空间，则该群称为紧致群。群论-三维转动群-拓扑群和李群1李群¢定义4.6李群l维拓扑群G的任意两个元素x(a,a,…,a)，x(b,b,…,b)的112l212l乘法运算和取逆运算为：xx=x(c,c,…,c),12312lx-1=x(d,d,…,d),1412l参数之间的关系称为组合函数：c=c(a,a,…,a；b,b,…,b)，ii12l12ld=d(a,a,…,a)，i=1,2,…l。ii12l若以上组合函数均为解析函数，则该群

6、称为李群。由于李群的组合函数是解析的，微积分的整套工具都可以用来研究李群，这使得李群成为研究最成功最深入的无限群群论-三维转动群-拓扑群和李群群的诸多概念（子群、同态、表示、特征标……）同样是李群的基本概念李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间中（测度不为零的区域内）都是群参数的单值连续函数。李群中单位元的参数可以选择为零单位元邻域中的元素，其参数是无穷小量，称为无穷小元素无穷小元素与极限过程或微分运算有关，不一定是参数很小无穷小元素决定了李群的局域性质群论-三维转动群-拓扑群和李群无穷小元素与任意元

7、素相乘得到该元素邻近的一个元素把无穷多个无穷小元素相继作用到该群元上，可以得到从该群元出发的一条连续曲线简单李群中单位元与任意群元都是连通的，则通过无穷小元素的连续相乘可以从单位元得到任意群元混合李群，在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素，然后通过无穷小元素相乘可得到该参数区中的任意元素群论-三维转动群-拓扑群和李群对于紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示，比如O(3)群与{1,-1}同态），有以下基本结论：任一连续表示都有等价的幺正表示；任一幺正表示都是完全可约的；不可约表示都是有限维的

8、。混合李群中，参数空间包含单位元的那个连续片的对应元素的集合构成该混合李群的不变子群（它是一个简单李群），其他元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集混合李群的性质完全由简单李群（不变子群）和每一连续片中一个代表元素的性质确定。故重点只需研究简单李群的性质群论-三维转动群-拓扑群和李群¢定义474.7李群的生成元李群G的单位元为e≡x(0,0,…,0)其邻域的元素e(0,…ε,…,0)精确到一级近似可写为：je(0,…ε,…,0)≈x(0,