第七章_三维转动群

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1、第七章三维转动群无限群分为分立无限群和连续无限群。关于有限群的理论对分立无限群几乎全部成立。对于连续无限群的处理，则需要做某些修正，还要引进一些新的概念，广泛涉及到微分方程和拓扑学等理论。本章的目的在于，忽略严格的数学描述，而力求以一种易于理解的方式介绍连续群的基本概念。§7.1拓扑群和李群【定义7.1】（连续群的维数）连续群G的元素由一组实参数a1,a2,…,an所标明，其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够。则该组参数中连续参数的个数r称为连续群的维数。在具体的群中，参数的取法可能不唯一，如SO(2)，SO(3)

2、群。例子：线性变换做成的集合：，记为，乘法为：，逆元：。由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑。为简单起见，我们仅讨论其元素可与r维实内积空间的某个子集Sr有一一对应关系的群。该子集称为参数空间。【定义7.2】（拓扑群）群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群。连续性示意图：—206—乘法法则的连续性：对于任意x1x2=x3,则x1与x2邻域中的所有元素相乘均属于x3的邻域。取逆法则的连续性：对于任意元素x，其邻域中的任何元素的逆均属于其逆x-1的邻域。【定义7.3】（简单群和混合群）拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一

3、条或者多条道路连接，亦即参数空间连成一片，则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。反之，如果群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。不连通的拓扑群参数空间示意图：【定义7.4】（多重连通群）简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重连通。K称为连通度。—206—多重连通性示意图【定义7.5】（紧致群）若拓扑群的参数空间是紧致空间，即闭而有界的空间，则该群称为紧致群。【定

4、义7.6】（李群）r维拓扑群G的任意两个元素，x1(a1,a2,…,ar)，x2(b1,b2,…,br)的乘法运算和取逆运算：x1x2=x3(c1,c2,…,cr),x1-1=x4(d1,d2,…,dr),参数之间的关系称为组合函数：ci=ci(a1,a2,…,ar；b1,b2,…,br），di=di(a1,a2,…,ar)，i=1,2,…r。若以上组合函数均为解析函数，则该群称为李群。由于李群的组合函数是解析的，微积分的整套工具都可以用来研究李群，这使得李群成为研究最成功最深入的无限群群的诸多概念，如阿贝尔群，子群，陪集，共轭，类，不变子群，群的同构和同态，商

5、群，线性表示，等价表示，不可约表示，特征标等同样是李群的基本概念。李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间测度不为零的区域内都是群参数的单值连续函数。李群中单位元的参数可以选择为零，单位元邻域中的元素，其参数是无穷小量，称为无穷小元素。无穷小元素总是跟极限过程或微分运算相联系，因而不应该看成仅仅是一个参数很小的元素。无穷小元素决定了李群的局域性质。它与任意元素相乘得到该元素邻近的一个元素，把无穷多个无穷小元素相继作用到某群元上，可以得到从该元素出发的一条连续曲线。若该元素选为单位元，而简单李群中单位元与任意—206—群元都是连通的，则通过无穷小元素的连续相乘可以

6、得到任意群元。对于混合李群，在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素，然后通过无穷小元素相乘可以得到该参数区中的任意元素。对于紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示，比如O(3)群与{1,-1}同态），有以下基本结论：任一连续表示都有等价的酉表示；不可约表示都是有限维的。【定理7.1】混合李群中，参数空间包含单位元的那个连续片对应元素的集合构成该混合李群的不变子群（它是一个简单李群），其他元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集。（证明见马中琪2版P.106）混合李群的性质完全由此简单李群（不变子群）和每一连续片中一个代表元素的性质确定。故重点只需研究简

7、单李群的性质。【定义7.7】（李群的生成元）李群G的单位元，其邻域的元素精确到一级近似可写为：，称为微分微量算符，可由求极限得到：（引入虚数i的原因是为了使得Ij是厄密算符）。r个算符只须定义在单位元附近，决定了李群的全部性质，称为李群的生成元。系1对于简单李群，任意群元可以由生成元相继运用乘法得到。为了得到群元，把写为，N是一个大整数，使得是一个小量。注意到忽略2次以上高阶项，有等式于是：—206—让N趋向无穷并利用代数恒等式，形式上有：把上述结果推广到群的一般元素有：§7.2轴转动群SO(2)【轴转动群SO(2)】绕固定轴的转动做成的集合。该集合元素用一个参

8、数标记，可以选定区间[0