正交群、幺模群和Euler转动

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1、§3.3正交群、幺模群和Euler转动一、正交群一个转动可用三个实数表征：转轴的极面角和方位角，以及转角。可方便地用3×3正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。由于RRT=RTR=1相当于6个独立方程，这3×3正交矩阵的9个元素只有3个是独立的。正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，该群叫SO(3)群。这里S表示特殊，即只考虑了转动，而无反演；O表示正交，即RRT=1；而3表示空间维数。SO(3)群的基本性质所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素：封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵2.结合律：这是矩阵代数的结果3.有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R=R4.有

2、逆存在（对应于相反角度的转动）：二、幺模群对二分量旋量χ，可用一个2×2矩阵的作用来表征一个任意转动：U=该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变χ的模。幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺模矩阵的一般形式为：且U(a,b)的行列式显然为1，且是幺正的：对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于:幺模矩阵的集合所构成的群称为SU(2)群。S：特殊，即模为1；U：幺正。1）封闭性：2）逆：2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）：SU(2)与SO(3)的关系虽然SU(2)与SO(3)均表征转动，但非同构，即SU(2)与SO(3)不是一一对应的。其实，SU(2)与SO(3)的对应是二对

3、一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1，转4π对应于1，但SO(3)中转2π和4π都对应于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，则可认为SO(3)与SU(2)局部同构。三、Euler转动三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征：1)将刚体绕z轴转α角.空间坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的,转动后刚体y轴变为y’轴2)使刚体绕y’轴转β角，刚体z轴变为z’轴3)使刚体绕z’轴转γ角，y’轴变为y’’轴。用3×3正交矩阵描述这三个Euler转动，结果为:y’与y差α角，绕y’转β角可等价为：先用Rz(-α)将

4、y’转回到y，然后绕y转β角,再将y转回到y’轴，即上式左右两边对y’轴效果自然相同，对zz’’(z’)的操作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。类似可证：于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为：即：化关于刚体轴y’、z’的操作为关于空间固定轴的操作对应Euler转动的转动算符与正交矩阵的乘积对应，存在相应转动算符的乘积：对自旋1/2体系为该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。上式的exp(-iσ2β)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。是转动算符D(α,β,γ)的j=1/2的不可约表示，其矩阵元记为§3.4密度算符与混合系综一、极化与非极化粒子束前述量子力学理论形式可描述由完全

5、相同的粒子组成的系综的统计预言，系综粒子均由态矢

6、α>表征。对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子，其自旋朝向是随机的。按前描述任意态的方法，所描述的态有特定自旋方向，其极角β和方位角α由决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综。二、分数分布自旋朝向无规的系综可看作由50%

7、+>和50%

8、->的粒子组成，可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可看作由50%

9、Sx+>和50%

10、Sx->组成。2）几率权重(w+，w-)是实数，没有关于不同态的相对相位的信息，用于描述

11、不同态的非相干混合态。3）不能混淆w+(w-)和

12、c+

13、2(

14、c-

15、2)，

16、c+

17、2(

18、c-

19、2)包含了重要的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如，该相干叠加的结果是Sx+态。w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。三、非极化、部分极化和完全极化SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子，原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向。经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的，自旋有特定朝向。完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如一混合系统中有70%的态由

20、α>描述，而30%由

21、β>描述，则称为部分极化的。这里

22、α>和

23、β>不一定要正交。例如，

24、α>是

25、Sx

26、+>，而

27、β>是

28、Sz->。非纯系综必须用分数分布数描述（分布数一般不唯一，但要满足描述系综总体性质的要求）四、系综平均混合系综可看作纯系综

29、α(i)>的混合叠加。分数分布要满足归一条件:不同态

30、α(i)>不必正交i的数目可大于态空间的维数。例如一系综可由40%

31、Sz+>、30%

32、Sx->和30%

33、Sy->组成.对混合系综测量A，测量的统计结果是A的系综平均这里

34、a’>是A的本征矢。由于<α(i)

35、A

36、α(i)>是A在态

37、α(i)>的期待值，系