置换群与对称群.ppt

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1、1.6置换群(1.6PermutationGroup)群G的全体置换作成的群叫n次对称群Sn，置换群是n次对称群Sn的子群.由Cayley定理，任一个有限群必与一个置换群同构．因此，需要对置换群作进一步的详细讨论。本节，我们将把置换群分解为循环的乘积，并得到置换群的一些初步性质。1.6.1置换的循环分解(CyclicResolvingofPermutation)在前面我们知道，一个置换,可以表示成如下的形式,其中i1i2…in是1，2，…，n的一个排列。Def：设是一个n次置换，满足(1)(i1)=i2,(i2)=i3,…(ir)=i1;

2、(2)保留1，2，…，n中的其余元素不变。则称为长度为r的循环，或称r阶循环。记为=(i1i2…ir)例如是一个长度为4的循环，或称4阶循环。两个循环=(i1i2…ir),=(j1j2…js)称为不相交的，如果对任何的k,l，都有ik≠jl两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明，两个不相交的循环的乘积是可交换的。Th1任一个n次置换都可以分解为两两不相交的循环的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是唯一的。证明:先证明分解式的存在性：从{1,2,…,n}中任选一个数作为i1，依次求出(i1)=i2,(i2)=i3,…直至这个

3、序列中第一次出现重复，这个第一次出现重复的数必然是i1，即存在ir，使(ir)=i1，于是得到循环1=(i1i2…ir)。然后再取j1(i1i2…ir)，重复以上步骤可得2=(j1j2…js)，并且由映射的定义知1与2无公共元素。如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中，因而得到的分解式=12…k再证明分解式的唯一性：若有两个不同的分解式，则一定出现两个数码i≠j，在一个分解式中j紧接着i出现，而在另一个分解式中紧接着i的不是j。这表明，从第一个分解式得(i)=j，而从第二个分解式得(i)≠j，矛盾。例：1.6.2置换的对

4、换分解(TranspositionResolvingofPermutation)Def：长度为2的循环称为对换，=(ab)。Th2任一个n次置换都可以分解为对换的乘积，=11…s而且的个数s的奇偶性由唯一确定，与分解方法无关。证明：由于每一个循环=(i1i2…ir)都可以写成对换的乘积(i1i2…ir)=(i1i2)(i1i3)…(i1ir)它是r-1个对换的乘积。因此，任一个n次置换都可以分解为对换的乘积。再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性：证明的基本思想是用一对对换=(ab)右乘，令N()表示分解式中所含对换的个

5、数，则N((ab))与N()有相反奇偶性，并注意到N()=0（这里是恒等变换）即可。为了证明N((ab))与N()有相反奇偶性，我们注意有下述等式：(ac1c2…ch)(bd1d2…dk)(ab)=(ac1…chbd1…dk)(ac1…chbd1…dk)(ab)=(ac1c2…ch)(bd1d2…dk)事实上，由于(ab)-1=(ab),从而第一个等式可由第二个等式右乘(ab)得到。对于第二个等式，可以从它们作用到1，2，…，n的每一个数码上的像来验证。由于上述两个等式，若(ab)右乘，且a，b在的同一个循环中出现，则N((ab)

6、)=N()-1；若a，b在的不同循环中出现，则N((ab))=N()+1。总之，N((ab))=N()±1。今设有一个表示成m个对换的乘积的表示式=(ab)(cd)…(pq)由于(ab)-1=(ab),从而(pq)…(cd)(ab)=e。但是，N(e)=0，故N()±1±1…±1＝0,因此m与N()有相同的奇偶性。证毕例：置换如果可以分解为偶数个(奇数个)对换的乘积,则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个数都是偶数(奇数),此时,称置换为偶置换(奇置换).置换的乘积的性质:1.两个偶置换的乘积是偶置换;2.两个奇置

7、换的乘积是偶置换;3.一个偶置换与一个奇置换的乘积是奇置换.例令An={︱∈Sn,是偶置换}则恒等置换e∈An，又,∈An∈An(封闭性)。注意到-1=e，从而和-1有相同的奇偶性。因此，∈An-1∈An(有逆元)。可见n次对称群Sn中的全体偶置换An构成Sn的一个子群，称为n次交代群(n次交错群)。End此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！