【步步高】2012高考数学 考前三个月抢分训练25 函数.doc

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1、解答题模块练训练25　函数(推荐时间：75分钟)1．记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.(1)求A；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．2．函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．3．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－a(a∈R)．(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值

2、；(2)求证：当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．4.设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)＝loga.(1)讨论函数f(x)在区间(－∞，－5)内的单调性，并给予证明；(2)设g(x)＝1＋loga(x－3)，如果方程f(x)＝g(x)有实根，求实数a的取值范围．5．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；(2)设常数c∈[1,4]，求函数f(x)＝x＋(1≤x≤2)的最大

3、值和最小值．6．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x＋lnx，其中a＞0.(1)若x＝1是函数h(x)＝f(x)＋g(x)的极值点，求实数a的值；(2)若对任意的x1，x2∈[1，e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围．-6-用心爱心专心答案1．解　(1)由2－≥0，得≥0.解上式得x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0.由a<1，得a＋1>2a.所以g(x)的定义域B＝(2a，a＋1)．又因为B⊆A，则可得2a

4、≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2.因为a<1，所以≤a<1或a≤－2.故当B⊆A时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.2．解　(1)f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b.∵－2,4分别是f(x)＝x2＋ax－b＝0的两实根，∴a＝－(－2＋4)＝－2，b＝2×4＝8，∴f(x)＝x2－2x－8.(2)∵g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，∴g′(x)≤0即f(x)＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立．∴即A点坐标为(－2,3)，∴a2＋b2的最小值为13.3．(1)解　当a＝－3时，f(x)＝x3－x2－3x＋3，∴

5、f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.-6-用心爱心专心当x<－1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当－13时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上单调递增．∴当x＝－1时，f(x)取得极大值为f(－1)＝－－1＋3＋3＝；当x＝3时，f(x)取得极小值为f(3)＝×27－9－9＋3＝－6.(2)证明　∵f′(x)＝x2－2x＋a，∴Δ＝4－4a＝4(1－a)．由a≥1，则Δ≤0，∴f′

6、(x)≥0在R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增．∵f(0)＝－a<0，f(3)＝2a>0，∴当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．4．解　(1)设x1＜x2＜－5，则－＝·10·(x2－x1)＞0.若a＞1，则f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是增函数；若0＜a＜1，则f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是减函数．(2)由g(x)＝1＋loga(x－3)及f(x)＝g(x)得1＋loga(x－3)＝loga⇒a＝.由⇒x＞

7、5.令h(x)＝，则h(x)＞0.由＝＝(x－5)＋＋12≥4＋12，当且仅当⇒x＝5＋2时等号成立．∴0＜h(x)≤.-6-用心爱心专心故所求a的取值范围是0＜a≤.5．解　(1)由函数y＝x＋的性质知：y＝x＋在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，∴＝4，∴2b＝16＝24，∴b＝4.(2)∵c∈[1,4]，∴∈[1,2]．又∵f(x)＝x＋在(0,]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，∴在x∈[1,2]上，当x＝时，函数取得最小值2.又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，f(2)－f(1)＝1－.当c∈[1,2)时，f(2)

8、－f(1)>0，f(2)>f(1)，此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋.当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.当c∈(2,4]时，f(2)－