【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练27 数列

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1、训练27　数列(推荐时间：75分钟)1．数列{an}中，a3＝1，a1＋a2＋…＋an＝an＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a1，a2；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)设bn＝log2Sn，存在数列{cn}使得cn·bn＋3·bn＋4＝1，试求数列{cn}的前n项和．2．(·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．3．(·辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数

2、列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．4.某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天．为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an＝(单位：万元，n∈N*)．记第n天的利润率bn＝，例如b3＝.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利润率bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝8，T3－S3＝15.(1)求{an

3、}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足a1cn＋a2cn－1＋…＋an－1c2＋anc1＝2n＋1－n－2对任意n∈N*都成立．求证：数列{cn}是等比数列．6．设数列{an}，{bn}满足：a1＝4，a2＝，an＋1＝，bn＋1＝.(1)用an表示an＋1，并证明：∀n∈N*，an＞2；(2)证明：是等比数列；(3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与2是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．答案1．解　(1)∵a1＝a2，a1＋a2＝a3，∴2a1＝a3＝1，∴a1＝，a2＝.(2)∵Sn＝an＋1＝Sn＋1－Sn，∴2S

4、n＝Sn＋1，＝2，∴{Sn}是首项为S1＝a1＝，公比为2的等比数列．∴Sn＝·2n－1＝2n－2.(3)∵bn＝log2Sn，Sn＝2n－2，∴bn＝n－2，bn＋3＝n＋1，bn＋4＝n＋2，∴cn·(n＋1)(n＋2)＝1，cn＝＝－.∴c1＋c2＋…＋cn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝.2．(1)解　设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公

5、比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)证明　数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.所以S1＋＝，＝＝2.因此是以为首项，2为公比的等比数列．3．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，　　　①故S1＝1，＝＋＋…＋.②所以，当n＞1时，①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－＝1－(1－)－＝.所以Sn＝.当n

6、＝1时也成立．综上，数列的前n项和Sn＝.4．解　(1)当n＝1时，b1＝；当n＝2时，b2＝.(2)当1≤n≤a1＝a2＝a3＝…＝an－1＝an＝1.∴bn＝＝＝.当21≤n≤60时，bn＝＝＝＝，∴第n天的利润率bn＝(3)当1≤n≤bn＝是递减数列，此时bn的最大值为b1＝；当21≤n≤60时，bn＝＝≤＝(当且仅当n＝，即n＝40时，“＝”成立)．又∵＞，∴当n＝40时，(bn)max＝.∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为.5．(1)解　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q＞0)，由题意得，解得.∴an＝n，bn

7、＝3×2n－1.(2)证明　由cn＋2cn－1＋…＋(n－1)c2＋nc1＝2n＋1－n－2，知cn－1＋2cn－2＋…＋(n－2)c2＋(n－1)c1＝2n－(n－1)－2(n≥2)，两式相减：cn＋cn－1＋…＋c2＋c1＝2n－1(n≥2)，∴cn－1＋cn－2＋…＋c2＋c1＝2n－1－1(n≥3)，∴cn＝2n－1(n≥3)．当n＝1,2时，c1＝1，c2＝2，适合上式，∴cn＝2n－1(n∈N*)，即{cn}是等比数列．6．证明　(1)由已知得a1＝4，a2＝，所以b1＝1，故an＋1bn＋1＝anbn＝…＝a1b1＝4，bn＝，an＋1