【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练30 概率与统计

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1、训练30　概率与统计(推荐时间：60分钟)1．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．2.某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲、乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由；(2)现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于165分的概率．3.某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数

2、)分成6组后得到如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的概率分布和数学期望．4．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在

3、B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其概率分布表为ξ02345P0.03p1p2p3p4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．答案1．解　(1)基本事件(a，b)共有36个，用a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4

4、，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)

5、2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.设“一元二次方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)

6、2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝＝.2．解　(1)因为乙班的成绩集中在80分，且没有低分，所以乙班的平均分比较高．(2)设从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分为事件A.从甲班6名同学中任取两名同学，则基本事件空间中包含15个基本事件，而事件A

7、中包含4个基本事件，所以，P(A)＝.故从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分的概率为.3．解　(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．(2)平均分为：＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.(3)学生成绩在[40,70)的有0.4×60＝24人，在[70,100]的有0.6×60＝36人．并且ξ的可能取值是0,1,2.则P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ

8、＝2)＝＝.所以ξ的概率分布表为ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.4．解　(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8.(2)根据题意p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q＝0.75×0.82＝0.48.p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.25×0.8＋0.2

9、5×0.2×0.8＝0.24.因此E(ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝p3＋p4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q＋Cq2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投篮以后都在B处投篮得分超过3