【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练26 三角函数

【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练26 三角函数

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1、训练26 三角函数(推荐时间:75分钟)1.已知sinα=,α∈(0,),tanβ=.(1)求tanα的值;(2)求tan(α+2β)的值.2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且1-=,求cos的值.3.若函数f(x)=sin2ax-sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求m的值;(2)若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,且x0∈[0,],求点A的坐标.4.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.m=(1,1),n=,且m⊥n.(1)求A的

2、大小;(2)若a=1,b=c.求S△ABC.5.设函数f(x)=2sinxcos2+cosxsinφ-sinx(0<φ<π),在x=π处取最小值.(1)求φ的值;(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知a=1,b=,f(A)=,求角C.6.(·福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为

3、多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.答案1.解 (1)∵sinα=,α∈(0,),∴cosα===.∴tanα===.(2)∵tanβ=,∴tan2β===.∴tan(α+2β)===2.2.解 由已知得=,∴=,∴2sinA-sinC=2sin(B-C),∴2sin(B+C)-sinC=2sin(B-C),2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,=2sinBcosC-2cosBsinC,∴4cosBsinC=sinC,又sinC≠0,∴co

4、sB=.B为锐角.∴cos==3.解 (1)f(x)=(1-cos2ax)-sin2ax=-(sin2ax+cos2ax)+=-sin(2ax+)+∵y=f(x)的图象与y=m相切.∴m为f(x)的最大值或最小值.即m=或m=.(2)又因为切点横坐标依次成公差为的等差数列,所以f(x)最小正周期为.又T==,a>0,所以a=2.即f(x)=-sin+令sin=0,则4x0+=kπ(k∈Z)x0=-.由0≤-≤π及k∈Z.得k=1,2,3,因此对称中心点A的坐标为、、.4.解 因为m⊥n,所以-sinBsinC+cosBcosC=0,所以cos(B+C)=-,即co

5、sA=,因为A为△ABC的内角,所以0

6、又∵A是三角形的内角,∴A=.又∵a=1,b=,∴由正弦定理得sinB===.又∵a<b,∴B=或B=,当B=时,C=;当B=时,C=.∴C=或.6.解 方法一 (1)如图(1),设相遇时小艇航行的距离为S海里,则S==图(1)=.故当t=时,Smin=10,此时v==30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-2×0t×cos(90°-30°),故v2=900-+.∵0

7、此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.图(2)方法二 (1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇(如图(2).在Rt△OAC中,OC=s30°=10,AC=n30°=10.又AC=30t,OC=vt.此时,轮船航行时间t==,v==30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.图(3)(2)猜想v=30时,小艇能以最短时间与轮船在D处相遇,此时AD=DO=30t.又∠OAD=60°,∴

8、AD=DO

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