考前归纳总结：导数中的探索性问题.doc

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1、导数中的探索性问题一、常见基本题型:(1)探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，例1、已知函数/(x)=x3-tzx2-3x(1)若%=--是/'(X)的极值点，求/(X)在［1,〃］上的最大值；(2)在(1)的条件下，是否存在实数力，使得函数g(x)=bx的图像与函数/(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数。的取值范围；若不存在，试说明理山。11,.解：(1)因为x=--是的极值点，所以,f(一一)=0,.・.。=4,由/⑴=0得:x=3,--，在区间［1,4］±,f(x)在(1,3)单调减在(3,4)单调增，且f⑴=一6J⑷=—12,所以,/(x)niax

2、=/⑴=-6(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x3-4x2-3x-如由题意可得F(Q有三个零点，又山于0是F(x)的一•个零点，所以，只要再有两个零点且都不相同即可；因此，方程x2-4x-3-b=0有两个不等实根旦无零根,所以,(-4)2+40+3)>o方+3工0所以，存在实数b使得函数g(x)=bx的图像与函数/(x)的图象恰有3个交点,b>—7且/?主—3.(2)探索函数的零点个数问题例2.已知函数f(x)=-ax2+2x,g⑴=ln尤，是否存在正实数。，使得函数2「(】)=性—广(尤)+2口+1在区间4,e)内有两个不同的零点？若存在，请求出xe。的取值范围；若不存

3、在，请说明理山.Inr解：r(x)=(以+2)+2q+1,x因「任)在区间(二。)内有两个不同的零点，所以「⑴二0,e即方程以~+(1-2小-以=0在区间(―,°)内有两个不同的实根e设H(x)=ax^+(-2a)x-lnx(x>0)H,(x)=2ax+(l-2a)--X2ax2+(-2a)x-_(2t/x+l)(x-1)XX令Hx)=O,因为61为正数，解得x=l或x=-—(舍)2a当XG(-,1)时，Hx)<0,H(x)是减函数；e当xe(l,e)时，H'(jc)>0,H(x)是增函数.为满足题意，只需H(x)在4,e)内有两个不相等的零点，故e7,+eI

4、解得2e—1//(-)>0eH(e)>0(1)探索函数图象的位置关系问题例3.若存在实常数*和b,使得函数f3)和彳(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)>kx+h和g(x)0),W3=2厂芝=2(厂有)3+有).当x=y[e

5、时，F'(x)=0.•.•当0时，Fz(x)<0,此时函数F(x)递减；当X〉&时，Fr(x)>0,此时函数F(W递增；.••当乂邓时，F(x)取极小值，其极小值为().(2)由(1)可知函数/?(x)和伊(x)的图象在x=4e处有公共点,则G3=空-2据=巫史2XX当x=4e时，G'(x)=0.•.•当0yR时，Gx)<0,此时函数G(i)递减；..•当x=&时，G(x)取极大值，其极大值为0.从而G(x)=2eInx-2>fex+e<0,即(p(x)<2y[ex-e(x>0)恒成立.・.・函数/?(x)和(p(x)

6、存在唯一的隔离宜线y=2^x-e・二、针对性练习1.设函数/(x)=x2+2x-21n(l+x).(1)求函数/(x)的单调区间；(2)当xe[--l,e-]时，是否存在整数m,使不等式〃7Vf(x)<-m2+2m+e2恒e成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理山。解:(1)由1+X>0得函数/(对的定义域为(―1,+00),，/、22x(x+2)f(x)=2x+2=—o''X+lX+1山f(X)>。得X>0;山f(X)<。得一1VXV。’・.・函数的递增区间是(0,+8)；递减区间是(-1,0)。(2)山⑴知，/⑴在［--1,0］上递减，在［0,e—1］上递增。e

7、••/«in=/(0)=0又—1){+1,/(e—1)=疽—3,且?-3>4+h一g-・.・XG［1,。一1］时，/(X)nix=疽一3。e,:不等式me2-3=>-1