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《高中数学 考前归纳总结 立体几何中的探索问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何中的探索问题一、探索点的位置例1.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点,在线段AC上是否存在一点M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.解：取AC中点M，连结EM、DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM//PA，又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA//平面EDM所以即在AC边上存在一点M，使得PA//平面EDM，AM的长为.C1A1CB1ABD例2.如图，三棱柱中，⊥面，，，为的中点, （2）求二面角的余
2、弦值；（3）在侧棱上是否存在点，使得A1AC1zxyCB1BD？请证明你的结论.解：（1）解：如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），设是面BDC1的一个法向量，则即，取，易知是面ABC的一个法向量.-6-用心爱心专心.∴二面角C1—BD—C的余弦值为.（2）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，则，即.解之∴方程组无解.∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.二、探索结论的存在性例3.如图，已知三棱锥中
3、，，为中点，为的中点，且．（1）求证：∥；（2）找出三棱锥中一组面与面垂直的位置关系，并给出证明（只需找到一组即可）（1）证明：依题意D为AB的中点，M为PB的中点∴DM//PA又,∴（2）平面PAC平面PBC(或平面PAB平面PBC)证明：由已知AB＝2PD，又D为AB的中点所以PD＝BD又知M为PB的中点∴，由（1）知DM//PA∴又由已知，且故∴平面PAC平面PBC。-6-用心爱心专心例4.已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论。解：不论点E在何位置，都有BD
4、⊥AE。证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面 ∴BD⊥PC-又∵∴BD⊥平面PAC ∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE三、针对性练习1.四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM.证明：，是的中点，.又平面，平面，NEABCDPM.又，，平面.又平面,.平面.又平面，.所以无论点在边的何处，-6-用心爱心专心都有.2.在四棱锥中，底面是菱
5、形，,在棱上是否存在点（异于点）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.解：不存在.下面用反证法说明.假设存在点（异于点）使得∥平面.在菱形中，∥，因为平面，平面，所以∥平面.因为平面，平面，，所以平面∥平面.而平面与平面相交，矛盾.3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝，AC＝，AB＝2，BC＝1，D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论；解:当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.∵E、F分别为AB
6、、BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.SPDCBA4．@9741)如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点。（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；-6-用心爱心专心（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面。若存在，求的值；若不存在，试说明理由。解法一：（1）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为
7、轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。于是，，则，故,从而(2)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（3）在棱上存在一点使.由（2）知是平面的一个法向量，且设则而即当时，而不在平面内，故解法二：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.-6-用心爱心专心(2)设正方形边长，则。又，所以,连，由（Ⅰ）知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。(3）在棱SC上存在一点E，使由（2）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的
8、交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.-6-用心爱心专心
