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《高中数学 考前归纳总结 立体几何常见题型与解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何常见题型与解法一、求空间角问题1．异面直线所成的角设异面直线的方向向量分别为。则与所成的角满足对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。。OAP2．线面所成的角设直线的方向向量与平面的法向量分别为，则直线的方向向量与平面所成角满足。3．二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。二面角的大小为,若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；即：;当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。即：;图（1）图（2）例1：在棱长为的正
2、方体中，分别是的中点，（1）求直线所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成角的余弦值；解：（1）如图建立坐标系，则-8-用心爱心专心ABCDEFGxyz，故所成角的余弦值为。（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，故与平面所成角的余弦值为（3）由，所以平面的法向量为下面求平面的法向量，设，由，，，所以平面与平面所成角的余弦值为。例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2
3、．E是PB的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．-8-用心爱心专心解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，DACEPBxyz∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．设P(0，0，a)（
4、a＞0），则E(，－，)，＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，＝(，－，)，取m＝(1，－1，0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，
5、cosám，nñ
6、＝＝＝，则a＝2．于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝
7、cosá，nñ
8、＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．例3：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.
9、（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），ABCDEFxyzP则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，.由，得，即，同理，又，所以EF平面PAB.-8-用心爱心专心（Ⅱ）解：由，得，即.得，，.有，，.设平面AEF的法向量为，由，解得.于是.设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为.则..所以，AC与平面AEF所成角的正弦值为.二、探索性问题例4．如图，在直三棱柱中，（1）求证（2
10、）在上是否存在点使得（3）在上是否存在点使得CABxDyZ解：直三棱柱，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，则，-8-用心爱心专心（1），（2）假设在上存在点，使得，则其中，则，于是，由于，且所以得，所以在上存在点使得，且这时点与点重合。（2）假设在上存在点使得，则其中则，，又由于，，所以存在实数成立，所以，所以在上存在点使得，且使的中点。三、范围问题例5.如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.（1）证明：在梯形中，∵,，∠＝
11、，∴∴-8-用心爱心专心∴∴ ⊥∵平面⊥平面,平面∩平面,平面∴⊥平面（2）由（1）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，∴设为平面的一个法向量，由，联立得，取，则∵ 是平面的一个法向量∴∵∴ 当时，有最小值，当时，有最大值.∴四、折叠问题例6。在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）
12、求二面角B－A1P－F的余弦值.-8-用心爱心专心解：不妨设正三角形ABC的边长为3.(1)在图1中，取BE
