立体几何中探索问题

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1、1PABCDE如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在平面内是否存在，使得直线平面，请说明理由.1证明：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，又因为，所以平面.则.…………………5分（Ⅱ）由已知，BCED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，PBCDMEA又，，所以四边形BCDE是正方形，连接，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，则.由（Ⅰ）知平面，所以，又因为，则平面，且平面，所以平面平面.…………………10分（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一

2、个点.理由如下：由已知，BCED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，所以，即，又平面，平面，所以平面.………………………………………………………………14分2.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中,底面为菱形，平面，点在棱上.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若平面，求证：；（Ⅲ）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面，求的值；（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．3

3、．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为平面，所以．[1分]因为为正方形，所以，[2分]所以平面．[3分]所以平面平面．[4分]（Ⅱ）连接．[5分]因为平面，所以．[7分]又因为，所以是的中点．[8分]所以．[9分]（Ⅲ）与平面不可能平行．[10分]证明如下：假设平面，因为，平面．所以平面．[12分]而平面，所以平面平面，这显然矛盾！[13分]所以假设不成立，即与平面不可能平行．[14分]4．（本小题满分14分）如图，在几何体中，底面为矩形，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．3

4、．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为为矩形，所以．[1分]又因为，[2分]所以平面．[3分]所以．[4分]（Ⅱ）因为为矩形，所以，[5分]所以平面．[7分]又因为平面平面，所以．[8分]（Ⅲ）平面与平面可以垂直．证明如下：[9分]连接．因为，，所以平面．[10分]所以．因为，所以．[11分]因为平面平面，若使平面平面，则平面，所以．[12分]在梯形中，因为，，，，所以．所以若使能成立，则为的中点．所以．[14分]4．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，，，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）设平面平面，点在平面上．当时，求的长．4．（本小题满分14分

5、）解：（Ⅰ）因为，所以，[1分]又因为，[2分]所以平面，[3分]所以．[4分]（Ⅱ）取的中点，连接，．[5分]因为为棱中点，所以，，又因为，，所以，．所以四边形是平行四边形，．[8分]又平面，平面，所以平面．[9分]（Ⅲ）在平面上，延长，交于点．因为，所以平面；又，所以平面，所以平面平面．[11分]在△中，因为，，所以．[12分]因为，所以△是等腰直角三角形，所以．[13分]由（Ⅰ）得平面，所以．在直角△中，．[14分]6（12分）FOBCDAE在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面底面，分别为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）侧棱上是否存在点，

6、使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．6.解：（Ⅰ）因为为等边三角形，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．…………………………………………………………3分（Ⅱ）连结，因为四边形为菱形，所以．因为分别为的中点，所以，所以．由（Ⅰ）可知，平面．因为平面，所以.因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．…………………………………………………7分（Ⅲ）当点为上的三等分点（靠近点）时，平面．FOBCDAEPMN证明如下：设与的交点分别为，连结,．因为四边形为菱形，分别为的中点，所以．设为上靠近点的三等分点，则，所以．因为平面，平面，

7、所以平面．由于，平面，平面，所以平面，即平面．因为，所以平面平面．因为平面，所以平面.可见侧棱上存在点，使得平面，且．………………12分7如图，在多面体中，侧面底面,底面为矩形，四边形为梯形，为线段上的一点，若（1）求的值；（2）若，点到平面的距离为，求四棱锥的体积．8．（本小题满分12分）如图，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求的值．8.解析：（