考前归纳总结：导数中常见的分类讨论[1].docx

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1、导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”一、参数引起的分类讨论例1.：已知函数,当时，讨论函数的单调性。练习1：已知函数，求函数的单调区间；二、判别式引起的分类讨论例2：已知函数，，讨论在定义域上的单调性。三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例3：已知

2、函数，令，若在上单调递增，求实数的取值范围.四、二项系数引起的分类讨论例4.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

3、f(x1)－f(x2)

4、≥4

5、x1－x2

6、.三、针对性练习1.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．2.已知函数,求函数的单调区间；3.若函数，求函数的极值点。变式1：若函数，试讨论函数的极值存在情况。变式2：若函数，求函数的单调区间。变式3：若函数，求在区间[2，3]上的最小值。三、小结：在利用导数求函数极值、

7、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论；2）若需考虑判别式Δ，需对Δ>0、Δ=0、Δ<0进行分类讨论；3）在求最值或单调区间时，由f’(x)=0解出的根，需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”。在分类讨论时，要注意：1、分类对象确定，标准统

8、一；2、不重复，不遗漏；3、分层次，不越级讨论。近些年年高考模拟题及真题：1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)A．－3B．－C．3D.或－32．对一切实数，不等式x2＋a

9、x

10、＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)B．[－2，＋∞)C．[－2,2]D．[0，＋∞)3．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.4．（汕头四中2014届高三数学（理））已知函数,为函数的导函数.(1)设函数f(

11、x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(2)若函数,求函数的单调区间.5．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知函数(1)若函数在处的切线垂直轴,求的值;(2)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;(3)讨论函数的单调性.6.已知函数。（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最小值。7.【浙江宁波市期末】设函数，且为的极值点．(Ⅰ)若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．8.已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，试确定实数k的取值范围；

12、（Ⅲ）证明：导数中的分类讨论问题参考答案例1.解：的定义域为（0，+∞），，当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当0＜＜1时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调递增，在单调递减.练习1解:（1）,所以,,,由得:所以,上为增函数；上为增函数；在上为减函数；例2：解：由已知得，（1）当，时，恒成立，在上为增函数．（2）当，时，1)时，，在上为减函数，在上为增函数，2）当时，，故在上为减函数，在[，＋∞）上为增函数．综上，当时，在上为增函数;当时，在上为减函数，在上为增函数，当a＜0时，在（0，]上为减函数，在[＋∞）上为增函数．例3解

13、：由已知得，，又当时，恒有，设，其对称轴为，(i)当,即时，应有解得:，所以时成立，(ii)当,即时，应有即:解得，综上：实数的取值范围是。例4解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当时，f′(x)＞0；当时，；故在上单调递增，在上单调递减．不妨设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少，所以

14、f(x1)－f(x2)

15、≥4

16、

17、x1－x2

18、等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.令g(x)＝f(x)＋4x，则g′