导数中的分类讨论问题

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1、导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”一、参数引起的分类讨论例：已知函数,当时，讨论函数的单调性。解：的定义域为（0，+∞），，当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当0＜＜1时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.

2、故在单调递增，在单调递减.例：已知函数，求函数的单调区间；解:（1）,所以,,,由得:所以,上为增函数；上为增函数；在上为减函数；二、判别式引起的分类讨论例：已知函数，，讨论在定义域上的单调性。解：由已知得，（1）当，时，恒成立，在上为增函数．（2）当，时，1)时，，在上为减函数，在上为增函数，2）当时，，故在上为减函数，在[，＋∞）上为增函数．综上，当时，在上为增函数;当)时，在上为减函数，在上为增函数，当a＜0时，在（0，]上为减函数，在[，＋∞）上为增函数．三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例：

3、已知函数，令，若在上单调递增，求实数的取值范围.解：由已知得，，又当时，恒有，设，其对称轴为，(i)当,即时，应有解得:，所以时成立，(ii)当,即时，应有即:解得，综上：实数的取值范围是。三、二项系数引起的分类讨论4.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

4、f(x1)－f(x2)

5、≥4

6、x1－x2

7、.解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a≤－1时，f′(x)＜

8、0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当时，f′(x)＞0；当时，；故在上单调递增，在上单调递减．(2)不妨设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少，所以

9、f(x1)－f(x2)

10、≥4

11、x1－x2

12、等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.于是g′(x)≤＝≤0.从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1

13、)＋4x1≤f(x2)＋4x2，故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

14、f(x1)－f(x2)

15、≥4

16、x1－x2

17、.三、针对性练习1.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．解：（Ι）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（Ⅱ）令，则.1.当时，由得，从而,所以，在上不存在使得；2.当时，,在上恒成立，故在上单调递增。故只要，解得综上所述，的取值范围是。2.已知函数,求函数的单调区间；解：,若时，则

18、>0在（1，）恒成立，所以的增区间（1，）.若，故当，，当时，，所以a>0时的减区间为（），的增区间为［.