导数中的分类讨论问题(题目)

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1、导数中的分类讨论问题分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则：(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．同时遵守解分类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象

2、进行合理的分类．(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结，将各类情况总结归纳有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。以下就如何准确的

3、找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。题型一、未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数之后导函数中自变量的系数有参数。其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）例1.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，

4、f(x1)－f(x2)

5、≥4

6、x1－x2

7、.题型二、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数是二次函数或

8、者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。令△=0，求分点。例2.已知函数，，讨论在定义域上的单调性。题型三、极值点的大小关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数为零的方程有解，但是几个根的大小关系不确定，分不了区间。因此必须分类讨论，令几个根相等求分点。例3.已知函数,其中g(x)的函数图象在点处的切线平行于x轴。（1）确定a与b的关系；（2）若，试讨论函数g(x)的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数的图象交于两点，证明：。题型四、极值点与区间的关系不定而引起分类：这一类

9、问题的特点是求出极值点后，极值点与定义域的关系不明确，所以必须分类。通过令极值点等于定义域端点值求分点。例4.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．变式1.已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性．(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．变式2.已知函数（I）求函数处的切线的方程；（II）设实数求函数在上的最大值.