加试模拟训题（36）.doc

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1、加试模拟训练题（36）1、设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．2、对一切非负整数x、y，函数f(x，y)满足(1)f(0，y)＝y＋1；(2)f(x＋1，0)＝f(x，1)；(3)(x＋1，y＋1)＝f(x，f(x＋1，y))试确定f(4，1981)．3、在第一行中写有19个不超过88的自然数，第二行写有88个不超过19的自然数，我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明：可以从上述两行数中各选出一段来，使得这两段数的和相等．4、证明：不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。加试模拟训练题（

2、36）1、设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．【题说】第22届(1993年)美国数学奥林匹克题2．【证】以E为相似中心作相似变换，相似比为1／2，此变换把E关于AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S(如图)，只须证明PQRS是圆内接四边形．由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圆内接四边形(每个四边形都有一组对角为直角)，由E、P、B、Q共圆，∠EPQ＝∠EBQ，由EQCR共圆，有∠ERQ＝∠ECQ，于是∠EPQ＋∠ERQ＝∠EBQ＋∠ECQ＝90º同理可得∠E

3、PS＋∠ERS＝90º从而，有∠SPQ＋∠QRS＝180º，故PQRS是圆内接四边形．2、对一切非负整数x、y，函数f(x，y)满足(1)f(0，y)＝y＋1；(1)(2)f(x＋1，0)＝f(x，1)；(2)(3)(x＋1，y＋1)＝f(x，f(x＋1，y))．(3)试确定f(4，1981)．【题说】第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题6．【解】令x＝0，由(2)与(1)得f(1，0)＝f(0，1)＝2．在(3)中令x＝0，y＝n－1，并利用(1)及前式，有f(1，n)＝f(0，f(1，n－1))＝f(1，n－1)＋1＝n＋f(1，0)＝n＋2(4)由(3)、(4)得f(2，n)

4、＝f(1，f(2，n－1))＝f(2，n－1)＋2＝2n＋f(2，0)又f(2，0)＝f(1，1)＝1＋2＝3所以f(2，n)＝2n＋3(5)由(3)、(5)得f(3，n)＋3＝f(2，f(3，n－1))＋3＝2f(3，n－1)＋6n＋3＝2[f(3，n－1)＋3]＝…＝2n＋3所以f(3，n)＝2－3(6)由(3)、(6)得f(4，n)＋3＝f(3，f(4，n－1))＋3＝2f(4，n－1)＋3＝…＝(共有n个2)4由于f(4，0)＋3＝f(3，1)＋3＝2所以f(4，n)＝3＋(n＋3个2)故f(4，1981)＝－3＋(1984个2)3、在第一行中写有19个不超过88的自然数，第二行

5、写有88个不超过19的自然数，我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明：可以从上述两行数中各选出一段来，使得这两段数的和相等．【题说】第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克八年级题4．【证】设a1，a2，…，a19为第一行数；b1，b2，…，b88是第二行数．记A(i)＝a1＋…＋ai，B(i)＝b1＋…＋bi假定A(19)≥B(88)(对于A(19)＜B(88)的情形可类似处理)对于每个i，记ni＝min{n；A(n)≥B(i)，1≤n≤19}根据假设，这样的ni是存在的．我们来考察88个差数A(ni)－B(i)．显然它们的值为整数，且都在0至87之间，这是因为如果这88个差数

6、互不相同，则它们之中必有一个为0，于是我们的命题获证．否则，这88个差数中至少有某两个相等，不妨设i1＝l，i2＝k，l＜k使得A(nl)－B(l)＝A(nk)－B(k)，于是就有A(nl)－A(nk)＝B(l)－B(k)显然，题意中的19、88可以换成任意自然数．4、证明：不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。222解：将方程两边乘以4配方知：原方程等价于(2x3)(2y3)(2z3)7。2222上述方程有有理数解等价于不定方程:abc7m有整数解(a，b，c，m)，其中m>0.若方程有整数解(a，b，c，m)，m>0，设m是所有这样的解中最

7、小的正整数。222如果m是偶数，则abc0(mod4)，注意到，完全平方数0或1(mod4)，所以，a，b，c都为2222偶数，设a2a,b2b,c2c,m2n，则abc7n，这表明(a,b,c,n)也是方程的整数111111111解，与m的最小性矛盾。222如果m是奇数，则由于奇数的平方1(mod8)，故abc7(mod8)，这时，当然有222222abc3(mod4)，由于前面的讨论，可知a，