热力学统计物理 课后习题 答案.doc

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1、第六章近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε)dε=证明：由式子（6-2-13），在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为-----------------（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为-------------（2）上式可以理解为将相空间（m空间）体积元4pVP2dP（体积V，动量球壳4pP2dP）除以相格大小h3而得到的状

2、态数。自由粒子的能量动量关系为因此，将上式代入（2）式，即得到在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε)dε=------------（3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε)dε=证明：对于一维自由粒子，有由于p的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在再由所以，证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε)dε=证明：对于二维自由粒子，有所以，在面积L2内，在内的量子态数为换为极坐标，则动量大小在内的量子态数为对φ从0至2π积分，并利用则可得

3、在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε)dε=，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为e=CP，试求在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε)dε=证明：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为-----------------（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为-------------（2）在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为e=CP，代入，可得

4、在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε)dε=-------------------（3）6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何?解：两种粒子的分布必须满足：，，，其中E为系统总能量。又上面各式可得：（1）（2）（3）对于波色子：分布的微观状态数分别为：系统的微观状态数在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在限制条件（1）、（2）、（3）下使极大的分布，此时必有而当时则由得（4）用拉氏乘子α、α’、β分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得根据拉氏乘子法原理，上式中每一个及的系数都必须为零，即＝0＝0所以，平衡状态下两种玻色子

5、的最概然分布分别为al=，al´=´对于费米子当时用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为al=，al´=´以上结果表明，无论对于波色子还是费米子，如果把一种粒子看作是一个子系统，系统由两个子系统组成，则平衡时两个子系统具有相同的β。