热力学统计物理 课后习题 问题详解.doc

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1、第七章玻耳兹曼统计7．1试根据公式证明，对于非相对论粒子，（）有上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。证明：处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为（）-------（1）为书写简便，我们将上式简记为-----------------------（2）其中V=L3是系统的体积，常量，并以单一指标l代表nx,ny,nz三个量子数。由（2）式可得---------------------（3）代入压强公式，有----------------------（4）式中是系统的能。上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和

2、费米分布都成立。注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动能。7．2根据公式证明，对于极端相对论粒子，有上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。证明：处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为，-------（1）为书写简便，我们将上式简记为-----------------------（2）其中V=L3是系统的体积，常量，并以单一指标l代表nx,ny,nz三个量子数。由（2）式可得---------------------（3）代入压强公式，有----------------------（4

3、）式中是系统的能。上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。7．4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为，式中PS是粒子处在量子态S的概率，，对粒子的所有量子态求和。证明：根据式（6-6-9），处在能量为的量子态S上的平均粒子数为---------(1)以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态S上的概率为---------(2)显然，PS满足归一化条件---------(3)式中是对粒子所有可能的量子态求和。粒子的平均能量可以表示为----(4)根据式（7-1-13），定域系统的熵为====è--------

4、--------(5)最后一步用了（2）式，即----------------(6)（5）式的熵表达式是具有启发性的。熵是广延量，具有相加性。（5）式意味着一个粒子的熵等于。它取决于粒子处在各个可能状态的概率PS。如果粒子肯定处在某个状态r，即=dsr，粒子的熵等于零；反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的。如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。7．5固体含有A、B两种原子．试证明

5、由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为其中N是总原子数，x是A原子的百分比，(1一x)是B原子的百分比．注意x<1．上式给出的熵为正值．证明：A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx个A种原子在N个格点随即分布的状态数：所以混合熵当N很大时，利用公式证毕7．8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为。证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布相应的气体的微观状态数为---------(1)其对数为---------(2)在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：;;-----

6、----(3)其中PZ是气体在Z方向的总动量，PLZ是处在能级l的分子所具有的Z方向动量。气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使lnW为极大的分布。令各有al的变化dal，lnW将因而有变化限制条件（3）要求;;用拉氏乘子a1，b和g乘这三个式子并从dlnW中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个dal的系数都等于零，所以有或---------(4)可以将式（4）改写成为动量的连续分布：在体积V=L3，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量围的分子数为-------（5）或-------（6）其中-------（7）式中的参量a1，b

7、和P0由（3）式确定。由（3）式中的得-------（8）代入（6）式消去，可将气体分子的动量分布表达为-------（9）利用（9）式求PZ的平均值，得所以P0是PZ的平均值。P0与PZ的关系为PZ=NP0在气体具有恒定的整体速度的情形下，气体的平衡状态不受破坏，其物态方程仍由PV=NKT描述。根据此容易证明b=1/KT7．9气体以恒定速度v0沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。解：根据上题，以恒定速度v0沿Z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为---------(1)分子平均动量的平均值为上式头两项积分后分别等于1/2KT，第三项的积分等于因此，（2

8、）式表明，