热力学统计物理课后习题答案

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1、第七章玻耳兹曼统计7.I试根据公式"-少罷证明，对于非相对论粒子2U=0,±1,±2,…)有P=——Jr上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。证明：处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为P22m12m2(於+尤+於)/(nx^nv^nz=0,±1，±2,…)(1)为书写简便，我们将上式简记为£=aV~^——(2)其中V』是系统的体积，常量Q二迦21(圧+尤+卅)，并以单一指标1代表nx,ny,nz三2m个量子数。由(2)式可得^-=--ciV~^(3)ar33v代入压强公式,有—P罷嶋少勺2U_(4)式屮U=hs是系统的

2、内能。/上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。注：(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式(4)中的U仅指平动内能。7-2根据公式"-沪罷证明，对于极端相对论粒子£=cp=+尤+〃；)％，=o,±l,±2,・…有P=g牛上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。证明：处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为2加(2c~r^x心，役，Z=°,±1,±2,…(1)为书写简便，我们将上式简记为E=aV~^(2)其中V=I?是系统的体积，常量。=2加血+尤+

3、“泸，并以单一指标1代表nx,ny,nz三个量子数。代入压强公式，有P=^al1U3V(4)式中u=》a&是系统的内能。I上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，爛函数可以表示为S=-Nk》PsPs，S式中Ps是粒子处在量子态s的概率，ps=-一=-—,y对粒子的所有量子态NZ、=求和。证明：根据式（6-6-9）,处在能量为的量子态S上的平均粒子数为、仁十-阻（1）以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态S上的概率为AN显然，Ps满足归一化条件》厶=1（3）S

4、式中》是对粒子所有可能的量子态求和。粒子的平均能量可以表示为E=Y厶6•…（4）SS根据式（7-1-13）,定域系统的嫡为S=NkQnZ-=NkQnZ+0可=Nk》P$Qn乙+0£$)°0s==今S=-Nk^PsInPs(5)s最后一步用了（2）式，即In7^=—lnZj—pss-（6）（5）式的爛表达式是具有启发性的。爛是广延量，具有相加性。（5）式意味着一个粒子的爛等于。它取决于粒子处在各个可能状态的概率PSo如果粒子肯定处在某个状态r,即=&「，粒子的爛等于零；反Z,当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的爛大于零。这与爛是无序度的量度的理解

5、白然是一致的。如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一-定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。所以，也可以将爛理解为信息缺乏的量度。7.5固体含有A、B两种原子.试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合爛为MH-x)r_M[xlnx+(1_x)ln(1_x)]其中N是总原子数，x是力原子的百分比，（1一兀）是B原子的百分比.注意上式给出的爛为正值.证明：A、B两种原子在品体格点的随机分布状态数等于Nx个A种原子在N个格点随即分布的状态数：N!阳![N(l_x)]i所以混合'^S=k£l=

6、kN![Mj[N(l-兀)]!=k{inN-ln(^x)!-ln[^(l-x))}当N很大时，利用公式In加=加（In加-1）,得S=£{N(lnN-1)一Nx(Nx-)-N(1_x)[ln(N一Nx)-1]}=-Nk[xlnx+(l-x)ln(l-x)]证毕7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分-耳吋+片,2十（乡-百）2]y布为£2加^dPxdPYdPzo证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布仏｝相应的n硝气体的微观状态数为—（1）n①！I其对数为InQ=Q/

7、lnC/-工1门°/!=工a.In-1）⑵i///在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：工5=N；工55=E;工a,P/z=PZ⑶///其屮Pz是气体在z方向的总动量,Plz是处在能级/的分子所具有的z方向动量。气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使InQ为极大的分布。令各有©的变化6%皿2将因而有变化

8、Pl7）&,=0根据拉氏乘子法原理，每个5如的系数都等于零，所以有hi《+a+0£/+禹z=00或Q/=COgk阻一忻z(