热力学统计物理课后答案

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1、第六章近独立粒子的最概然分布6.1中试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为解:式（6.2.13）给出，在体积内，在到到到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为（2）上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）除以相格大小而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为因此将上式代入式（2），即得在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子

2、的量子态数为（3）6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式（6.2.16）已给出在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的状态数为（1）将极端相对论粒子的能量动量关系代入，可得在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为（2）6.5设系统含有两种粒子，其粒子数分别为和.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为和其中和

3、是两种粒子的能级，和是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为和，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布和必须满足条件（1）才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和时各自的微观状态数为（2）系统的微观状态数为（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使或为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得为求使为极大的分布，令和各有和的变化，将因而有的变化.使为极大的分布和必使即但这些和不完全是独立的，它们必须满足条件用拉

4、氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得即（4）拉氏乘子和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布.两个分布的和可以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的.6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解:当系统含有个玻色子，个费米子，总能量为E，体

5、积为V时，粒子的分布和必须满足条件（1）才有可能实现.玻色子处在分布，费米子处在分布时，其微观状态数分别为系统的微观状态数为（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使或为极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得令各和有和的变化，将因而有的变化，使用权为极大的分布和必使即但这此致和不完全是独立的，它们必须满足条件用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得即（4）拉氏乘子和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子分别遵从玻

6、色分布和费米分布，其中和不同，但相等.第七章玻耳兹曼统计77.2试根据公式证明，对于相对论粒子,有上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为（1）用指标表示量子数表示系统的体积，，可将上式简记为（2）其中由此可得（3）代入压强公式，得（4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同.式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.7.4试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为式中是粒子处在量子态s

7、的概率，是对粒子的所有量子态求和.对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？解:根据式（6.6.9），处在能量为的量子态s上的平均粒子数为（1）以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为（2）显然，满足归一化条件（3）式中是对粒子的所有可能的量子态求和.粒子的平均能量可以表示为（4）根据式（7.1.13），定域系统的熵为（5）最后一步用了式（2），即（6）式（5）的熵表达式是颇具启发性的.熵是广延量，具有相加性.式（5）意味着一个粒子的熵等于它取决于粒子处在各个可能状态的概率.如

8、果粒子肯定处在某个状态，即，粒子的熵等于零.反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零.这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的.如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息.所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度.第九章补充题5还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式.沙农（Shannon）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为通信理论的出发点.甄尼斯（Jaynes）提出将熵当作统计