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1、热力学统计物理课后习题答案第7章玻耳兹曼统计7．1试依据公式VaPLll??-=∑ε证实，对于于非相对于论粒子()222222212zyxnnnLmmP++?????==πε，（,2,1,0,,±±=zyxnnn）有VUP32=上述论断对于于玻我兹曼散布，玻色散布以及费米散布皆建立。证实：处正在边少为L的坐圆体中，非相对于论粒子的能量本征值为()22222,,2212zyxnnnnnnLmmPzyx++?????==πε（,2,1,0,,±±=zyxnnn）-------（1）为誊写烦琐，咱们将上式简记
2、为32-=aVε-----------------------（2）个中V=L3是体系的体积，常量()22222)2(zyxnnnma++=π，并以繁多目标l代表nx,ny,nz3个量子数。由（2）式可患上VaVVlLεε323235-=-=??----------------------（3）代进压强公式，有VUaVVaPlllLll3232==??-=∑∑εε----------------------（4）式中lllaUε∑=是体系的能。上述证实已波及散布的详细抒发式，果此上述论断对于于玻我兹曼散
3、布，玻色散布以及费米散布皆建立。注：（4）式只合用于粒子唯一仄移活动的情况。假如粒子借有其余的自在度，式（4）中的U仅指仄动能。7．2依据公式VaPLll??-=∑ε证实，对于于极其相对于论粒子()212222zyxnnnLccp++==πε，,2,1,0,,±±=zyxnnn有VUP31=上述论断对于于玻我兹曼散布，玻色散布以及费米散布皆建立。证实：处正在边少为L的坐圆体中，极其相对于论粒子的能量本征值为()21222,,2zyxnnnnnnLczyx++=πε，,2,1,0,,±±=zyxnnn--
4、-----（1）为誊写烦琐，咱们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）个中V=L3是体系的体积，常量()212222zyxnnnca++=π，并以繁多目标l代表nx,ny,nz3个量子数。由（2）式可患上VaVVlLεε313134-=-=??----------------------（3）代进压强公式，有VUaVVaPlllLll3131==??-=∑∑εε----------------------（4）式中lllaUε∑=是体系的能。上述证实已波及散布的详
5、细抒发式，果此上述论断对于于玻我兹曼散布，玻色散布以及费米散布皆建立。7．4试证实，对于于听从玻我兹曼散布的体系，熵函数能够暗示为∑-=SSSPPNkSln，式中PS是粒子处正在量子态S的几率，1ZeNePssSβεβεα---==，∑S对于粒子的一切量子态供以及。证实：依据式（6-6-9），处正在能量为的量子态S上的仄均粒子数为sefsβεα--=---------(1)以N暗示体系的粒子数，粒子处正在量子态S上的几率为1ZeNePssSβεβεα---==---------(2)隐然，PS谦足回一化
6、前提1=∑SsP---------(3)式中∑s是对于粒子一切大概的量子态供以及。粒子的仄均能量能够暗示为SSsPEε∑=----(4)依据式（7-1-13），定域体系的熵为)(ln)ln(ln111εβββ+=??-=ZNkZZNkS)(ln1SSSZPNkβε+=∑====∑-=SSSPPNkSln----------------(5)最初一步用了（2）式，即SSZPβε--=1lnln----------------(6)（5）式的熵抒发式是具备启示性的。熵是广延量，具备相减性。（5）式象征着一个
7、粒子的熵即是。它与决于粒子处正在各个大概形态的几率PS。假如粒子一定处正在某个形态r，即=δsr，粒子的熵即是整；反之，当粒子大概处正在多个宏观形态时，粒子的熵年夜于整。那取熵是无序度的量度的了解做作是分歧的。假如换一个角度思索，粒子的形态完整断定象征着咱们对于它有完整的疑息。粒子以必定的几率处正在各个大概的宏观形态象征着咱们对于它不足完整的疑息。以是，也能够将熵了解为疑息不足的量度。7．5固体露有A、B两种本子．试证实因为本子正在晶体魄面的随机散布起的夹杂熵为[]()[]()()[]xxxxNkxNN
8、xNkS--+-=-=1ln1ln!1!!ln个中N是总本子数，x是A本子的百分比，(1一x)是B本子的百分比．注重x证实：A、B两种本子正在晶体魄面的随机散布形态数即是Nx个A种本子正在N个格面随即散布的形态数：[]()[]!1!!xNNxNCNxN-=Ω以是夹杂熵[]()[]()[]{}!1ln)!ln(!ln!1!!lnlnxNNxNkxNNxNkkS---=-=Ω=当N很年夜时，使用公式()患上,1ln!ln-≈mmm()()()(
