勒让德函数的计算机仿真研究.pdf

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1、第3O卷第5期攀枝花学院学报2013年10月V01．30．N0．5+OllmalofPanzhihuaUniversiOct．2013·自然科学研究·勒让德函数的计算机仿真研究伍刚(孥I枝花学院电信学院。l~lJII攀枝花617000)(摘要】本文基于球坐标系下的拉普拉斯方程，通过分离变量法，导出了勒让德方程(Legendre’sequation)，利用勒让德方程求级数解的系数，已知系数得出第一类勒让德函数(n次勒让德多项式)，利用计算机编程仿真实现勒让德函数的可视化，从而获得准确数据和精确曲线。实现了对问题的直观分析

2、。[关键词]勒让德方程；勒让德函数；仿真中图分类号：O174文献标志码：A文章编号：1672—0563(20l3)05—0098--031引言。令特殊函数般来说是基于求某些数学物理方u(r,O，)=：R(r)@(e(程的解而得出来的函数。它最常见的种类有：r函将(2)代入(1)得通过整理得到：数、B函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数lde2dRJ=：1d等，目前还不断有新的特殊函数出现。在实际应用⋯口(s姗争警(2)中如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多(2)式左端只有与r有关，右端只与，有项式．、拉盖尔多

3、项式等一些正交多项，也常常列入关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。特殊函数的内容中[1】。在这些函数中，勒让德函数若将这个常数设为n+J的形式，则得到口】：是基于拉普拉斯方程在球坐标下通过勒让德方程，利用级数解得到的，然而勒让德函数的图形可軎fr2譬卢n(3)视化用传统的方法实现非常困难，基于这个原因，嘉器=吼J(4)本研究提出了应用计算仿真编程来实现的方法，展开方程(3)得到欧拉方程，其通解为：来生成勒让德函数的图形，实现这两种函数的图RA(5)形可视化。方程中AA为任意常数。2勒让德方程的引出对方程(4)变

4、形整理得到：勒让德(AdrienMarieLegendre1752—1833)，法国数学家。在关于天文学的研究中，勒让德引进古s砌軎fs鲁J)sin2一吉警(6)了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质，为了研究勒让德函数，在这里通过球坐标公式(6)的左端只与0有关，而右端只与有关，系中拉普拉斯方程分离变量，得出勒让德方因此只有当它们均为常数时才有可能相等。若令程。为了引出勒让德方程首先写出球坐标系中这个常数为：m2(m=O,1，2⋯)从而得到的拉普拉斯方程圆：n嗡fs枷鲁n1)sin2O=m(7)軎fr。挚+音(

5、sinO~)+告：～哪2(8)—{_--丁：0(1)rsin收稿日期：2013--05—13作者简介：伍~JlJ(1964—)，男，四川攀枝花人，攀枝花学院电信学院教授，研究方向：电磁场理论。98第30卷攀枝花学院学报第5期由方程(8)得：=Blcos瑚妒+Bin瑚妒(9)1l睾2，’当一n～为～偶数一时一，公式(7)整理可得肘=1鲁丢(，10、)l【旦2，一当n一为～奇数一时一，’此多项式称为第一类勒让德函数(或n次勒让德多这个方程称为连带的勒让德方程。项式)。当乃为整数时，在适当选定之后，与如果引用X~=CO$O为

6、自变量(一≤≤，并将@中有一个是勒让德多项式，另一个仍是无穷级(0)改记为p)。则(10)变成陶：数，记作Q，此时方程的通解为軎一砉(11)ClPc)19)其中Q称为第二类勒让德函数，当n不是整数若u(r,O，)与无关，则从(8)可知m=O，这时(11)时，方程(13)的通解为Y=yl+Y2。简化成．4勒让德函数的计算机仿真公式(18)为n阶勒让德多项式，该多项式也称／-X)争鲁一’_D(12)为第一类勒让德函数，公式(18)为勒让德多项式的方程(12)就是所求的勒让德方程。当把式(12)中的级数表示。对于这个函数式，

7、在X~-COSO时，前几项的P换成y则勒让德方程变为展开表达式如下：Po)=：1．pl(x)=。c=：c0s8：p2)=：(3一1)=：—1(3cos20+1)a一軎+n+=D(13),x一’P3)==下1(5x一3)=(Scos30+3cosO)这样勒让德方程就导出来了。3勘让值方穗的隶锯p4)：=专(35一3+3)==(35cos40+20cos20+9)为了求解方程(13)，设其解的形式为嗍：，，；研+⋯+⋯)ps)=(63。c15x)=(63cosSO+35cos30+30cosO)=∑≠D(14)P6=古(2

8、31x6-315x*+溉一=击f2os60+将(14)代入(13)整理得：12cos40+lOScos20+50)c=O或c=-,-1以上几项表达式，利用MATLAB中的勒让德函系数ak在c=O的递推关系数指令，础通过编程得到前6个勒让德多项式的图像如图1，从图1可以看出，该图形象地=o,1(15)表征了勒让德函数函数前几项展开式