勒让德猜想证明

《勒让德猜想证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、勒让德猜想证明勒让德是法国数学家。1752年9月18日生于巴黎，1833年1月10日卒于巴黎。1770年毕业于马萨林学院。1782年以外弹道方面的论文获柏林科学院奖。1783年被选为巴黎科学院助理院士，两年后升为院士。勒让德主要从事数学分析、几何学、数论以及天体力学研究，并且建立了许多重要的定理，尤其是在数论和椭圆积分（EllipticIntegrals）方面，提出了对素数定理（PrimeNumberTheorem）和二次互反律（QuadraticReciprocity）的猜测并发表了初等几何教科书。1912年，爱德蒙·兰道在国际数

2、学家会议上列出了关于质数的四个基本问题：第一问题是哥德巴赫猜想；第二个问题是孪生质数猜想；第三个问题是勒让德猜想；第四个问题是是2否存在无限多形如n+1的质数。那么什么是勒让德猜想呢？勒让德猜想：在平方数22nn和()+1之间至少有一个质数。这个问题从提出到现在一直没有证明出来。下面就让我给大家证明一下。首先我们需要给出不超过正整数n的质数的个数。定理1：设n为正整数，p,,pp??为n的前部素数，那么12m1π()nmn=+∏(1−−)1。pn≤p证明：设n为正整数，p,,pp??为n的前部素数，若12mkk,,??k,kp=+{

3、}qrq为整数是p的剩余类。不难知道，所有整数均匀分布在这01p−1rp个剩余类中，若在1，2，…………，n内任取一个整数a则p∣a的概率定义为1/p,那么p1不整除a的概率即为1−，若p≤n是素数，每一个p能否有p不整除a可视为独立事p件，故在11，2，…………，n内，任取一数b不能被p整除的概率为∏(1−)，在1，2，…………，pn≤pn内，不能被p整除的就是后部素数和1，因为前部素数p是能被p整除的，pp。所以1n∏(1−)等于后部质数的个数加1，又因为前部素数的个数为m，因此，，所以我们有。pn≤p1设n为正整数，不超过正整

4、数n的素数的个数为π()nmn=+−∏(1)1−。pn≤p其次我们还要证明一个引理。引理：质数的个数公式π(n)是不减函数证明：当n+1为合数时，π(n+1)＝π(n)当n+1为素数时，π(n+1)﹥π(n)故无论n+1为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n)所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n)≥0做好了以上的准备工作，下面我们就可以开始证明勒让德猜想了。22定理2：已知：对于任意的正整数n，nn和()+1是平方数。2222求证：在平方数nn和()+1之间至少有一个质数，也即是ππ⎡⎤()nn+>1()⎣⎦22证明：

5、用反证法，假设∃+nn使ππ⎡⎤()1≤(n)⎣⎦2222又因为nn<+()1，由引理知ππ⎡⎤()nn+≥1()，根据假设可以得到⎣⎦22ππ⎡⎤()nn+=1()。⎣⎦22⑴当ππ()(nn+=1)时，也就是说nn和()+1有相同的前部质数。根据质数的个数公式m⎛⎞m⎛⎞π⎡⎤()()nn+=+112211−+−1m，π()nn22=⎜⎟11−+−1m，所以⎣⎦∏⎜⎟∏i=1⎝⎠pii=1⎝⎠pimm⎛⎞⎛⎞2112()nm+11∏∏⎜⎟−+−=1n⎜⎟1−+−m1，也就是ii==11⎝⎠ppii⎝⎠mm⎛⎞⎛⎞m⎛⎞21121

6、22()nn+−11∏∏⎜⎟⎜⎟=−1，又因为∏⎜⎟10−≠，所以nn=()+1ii==11⎝⎠⎝⎠piipi=1⎝⎠pi故n+=10,所以可以得到n=−1,这与n为正整数矛盾，故假设错误。⑵当ππ()(nn+≠1)时，也就是说ππ(nn+11)=+()，此时n+1必为质数。根据质数的个数公式m+1⎛⎞m⎛⎞π⎡⎤()()nn+=+11221−++−1()m11，π()nn22=⎜⎟11−+−1m，⎣⎦∏⎜⎟∏i=1⎝⎠pii=1⎝⎠pimm+1⎛⎞⎛⎞2112所以，()nm+−11∏∏⎜⎟+()+1−1=−n⎜⎟1+m−1，也就是

7、ii==11⎝⎠ppii⎝⎠mm+1⎛⎞⎛⎞m⎛⎞21121()nn+−111∏∏⎜⎟+=−⎜⎟1，又因为∏⎜⎟10−≠，所以，ii==11⎝⎠ppii⎝⎠i=1⎝⎠pi2⎛⎞11212()nn+−+11⎜⎟=，也即是()nn+1+=n，所以，⎝⎠n+1m⎛⎞1m⎛⎞1∏⎜⎟1−∏⎜⎟1−i=1⎝⎠pii=1⎝⎠pim⎛⎞11n=−，又因为∏⎜⎟10−>，所以n为负数，这与n为正整数矛盾，故假m⎛⎞p1i=1⎝⎠i∏⎜⎟1−i=1⎝⎠pi设错误。22综上所述，命题ππ⎡⎤()nn+>1()成立。⎣⎦22利用这个结论，我们很容易可以知

8、道，在平方数nn和()+1之间至少有一个质数，当n无穷大时，质数有无穷多个。弯国强写于2011年2月4日星期五