勒让德多项式及球函数.ppt

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1、第三篇特殊函数本篇主要内容：勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数.本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数.本篇特点：加强了思维能力的训练,以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用.第十九章勒让德多项式球函数19.1勒让德方程及其解的表示19.1.1勒让德方程勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程（19.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程（19.１.2）(19.1.2)式的解与半径无关，故称为球谐函数，或简称为球函数．球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于的常微分方程（19.1.3）称为阶连带勒让德方程.令和把自变数从换为，则

2、方程（19.1.3）可以化为下列阶连带勒让德方程形式的（19.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则，即有（19.1.5）称为阶勒让德（legendre）方程．同样若记，，则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程(19.1.6)19．1．2勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为（19.1.7）式中上式具有多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示．注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:勒让德多项式的图形可通过计算机仿

3、真(如MATLAB仿真)得到计算，这应当等于多项式的常数项．如为（即为奇数）时，则只含奇数次幂，不含常数项，所以（19.１.8）（即为偶数）时，则含有常数项，即（19.１.7）中的那一项，所以（19.１.9）式中记号而因此，．2勒让德多项式的微分表示（19.1.10）上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．【证明】用二项式定理把展开把上式对x求导次．凡是幂次的项在次求导过程中成为零，所以只需保留幂次的项，即的项，应取，并且注意到因此有3.勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶

4、导数，并取正方向积分有容易证明微分表示（19.1.10）也可表示为环路积分形式（19.1.11）为平面上围绕并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路，式（19.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．(19.1.12)【证明】取为圆周，圆心在，半径为．在上有：并注意到代入（19.1.12）得到这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示．从该积分还很容易看出（19.1.13）利用拉普拉斯积分表示（19.1.12），还可以证明，（19.1.14）【证明】回到原来的变量，，则如从19.2勒让德多项式的性质19.2.1勒让德多项式的性质1.勒让德多项

5、式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）的个零点都是实的，且在内；（ii）的零点与的零点互相分离．2.奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换容易得到（19.2.1）即当为偶数时，勒让德多项式为偶函数，为奇数时为奇函数3.勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间上满足(19.2.2)其中当时满足，(19.2.3)称为正交性．相等时可求出其模(19.2.4)下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明【证明】（1）正交性勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有两式相减，并在[-1,1]区间上对x积分，得因为上面等式左边的积分值为所以当时，必

6、然有根据成立．（2）模（利用分部积分法证明）为了分部积分的方便，把上式的用微分表示给出，则有注意到以为级零点，故其阶导数必然以为一级零点，从而上式已积出部分的值为零再进行次分部积分，即得是次多项式，其阶导数也就是最高幂项的阶导数为．故再对上式分部积分一次容易看出已积出部分以为零点．至此，分部积分的结果是使的幂次降低一次，的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计次），即得故勒让德多项式的模为且有4.广义傅里叶级数定理19.2.1在区间[-1,1]上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数（19.2.5）其中系数(19.2.6)在实际应用中,经常要

7、作代换,此时勒让德方程的解为，这时有(19.2.7)其中系数为（19.2.8）19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例19.2.1将函数按勒让德多项式形式展开.【解】根据（19.2.5）设考虑到，由(19.2.6)显然有所以例19.2.2将函数展开为勒让德多项式形式【解】用直接展开法令，则由我们知道：可设考虑到勒让德函数的奇偶性，显然由项的系数，显然得出故有下面我们给出一般性结论：结论1：设为正整数，可以证明：结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数为奇函数，则展开式（19.2.5）系数若需展开的函数为偶函数，则展开式（19.2.