勒让德多项式及性质

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1、第三篇：特殊函数第二章勒让德多项式主要内容：勒让德多项式（轴对称问题）及性质连带勒让德函数（转动对称问题）球函数（一般问题）在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程同样若记则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程xyzr§2·1勒让德多项式勒让德方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的性质、母函数和递推公式勒让德多项式的应用一、勒让德方程的解：我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为式中上式具有多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．二、勒让德多项式（注意到1、前几个勒

2、让德多项式:勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到2、勒让德多项式的微分表示上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．3、勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有容易证明微分表示也可表示为环路积分形式为平面上围绕并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路，还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．§2·2勒让德多项式的性质奇偶性：根据勒让德多项式的定义式，作代换容易得到即当为偶数时，勒让德多项式为偶函数，为奇数时为奇函数式中记号而因此，一、勒让德多项式的正交关系两式称为正交

3、性．代入的微分式得：模为：二、勒让德多项式的模：三、广义傅立叶级数由前面的分析可以看出，勒让德多项式为本征函数族，（可以作为广义傅立叶级数的基。若函数定义在区间上，或定义在区间上，则或）是正交的、完备的。其中系数：或例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。另一解法：推广：例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。4四、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，例题3、在球的内部,求解u=0,使得满足边界条件解：m=0通解为：有限值通解为例题4：半径为的半球，其球面上温度为，底面绝热，试

4、求这个半球里的稳定温度分布。选取球心为极点，Z轴为极轴，Z轴为对称轴，无关。ZXYO对定解问题解析延拓到整个球形区域x=0上满足第二类边界条件，是关于Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。或通解为：对于球的内部：代入边界条件得：展开为广义傅立叶级数。可以导出：比较系数得：例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），场强为，球的半径为，介电常数为，试求解介质球内外的场强。解：选取球心为极点，极点，平行于即：Z轴为对称轴，由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。的直线为Z轴。无关。场强在球面上不连续。在球面上无意义。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。1、设

5、球内电势为：，满足：2、设球外电势为：，满足：比较系数得：3、衔接条件：①电势在球面上连续。②电位移矢量的法向分量在球面上连续4、解方程：代入衔接条件：比较系数得：解出：其中与零电势的选取有关。5、求场强：球内场强：可以看出，球内场强沿原方向也是匀强电场。只是场强削弱了。一般情况球内极化强度：为常数，所以，球的极化是均匀的。球外场强：为匀强电场。五、母函数1、定义：设在单位球北极放置正电荷，求球内外任意点解：取球心为极点，Z轴为极轴。球内外任一点的电势关于Z轴对称。球内外电势满足：（无源场）无关。的电势。xyz通解为：⑴球内电势：取球内任一点：则M点的电势为：，它

6、到电荷的距离为d，其中：叫的母函数。⑵球外电势：对于任一点：母函数：对于半径为R的球，母函数为：2、应用⑴在点正电荷放置接地的导体球，球的半径为a，球心与电荷相距为，求解静电场。的电场中，解：取球心O为极点，极轴通过点电荷，电势满足：（无源场）无关。通解为：无导体球时：任一点电势为：由于导体的存在，导体球上产生静电感应电荷，它引起的电势变化为对于定解问题：代入边界：引入母函数：时比较系数得：其中：按照母函数的定义：物理意义：相当于某个点电荷电场中的静电势。位置在极轴上，距球心的距离为。因为所以即，点电荷在球内。结论：导体球外的静电场，好像似存在一个点电荷，叫原来那

7、个点电荷的电像。⑵利用母函数求：球内：两边求导得：同理可得：六、利用母函数推出勒让德多项式的递推公式。由母函数的定义：两边对r求导：两边乘以：得：由母函数的定义：两边取项的系数得：小结：归纳母函数的定义及应用