勒让德多项式拟合igs精密星历

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1、勒让德多项式拟合IGS精密星历李明峰，袁博，焦健新(南京工业大学土木工程学院，江苏南京210009)摘要：在阐述勒让德多项式拟合算法的基础上，推导出IGs精密星历的勒让德拟合多项式；通过实例分析拟合的精度，并与经典的拉格朗日插值、切比雪夫拟合等其他算法进行比较．结果表明，在0时O分0秒至23时45分0秒时间段内8阶勒让德多项式拟合的精度高于其他任何一种同阶多项式插值或拟合方法，并且最大误差不超过1cⅢ．关键词：IGS：精密星历；勒让德多项式；精度一、引言在GPS高精度定位中，如何快速、正确地获取高精度的任意时刻卫星坐标和钟差是一项重要工作。IGS(Intemati

2、onalGNSSSenrice，国际(烈SS服务)发布的GPS精密星历标称精度为5cm，能满足高精度定位的用户需求，因而被广泛采用。然而，IGS精密星历的采样率为15min，因此在(讯S数据后处理中需要采用合理的数学模型计算所需历元时刻的卫星坐标和钟差u一1。目前，利用IGS精密星历求任意时刻卫星坐标和钟差的方法主要有插值法和拟合法两大类。插值法中最常见的是拉格朗日插值和三角函数多项式插值，此外还有Neville插值、滑动式Ne叭0n多项式插值等。拉格朗日插值的思想是利用疗个已知卫星坐标导出刀一1阶插值多项式，包括内插和外推两方面内容曙’31。三角函数多项式拟合需

3、要根据刀+1个已知卫星坐标求出多项式，从而得到插值函数。NeVille插值是一种线性插值，通过组合低一次多项式得到高一次插值多项式H1。拟合法中最常见的是切比雪夫多项式拟合，该方法的关键技术是根据已知卫星坐标采用最小二乘准则求出多项式系数【4，6】。本文将尝试采用勒让德多项式来拟合GPS卫星轨道，并与拉格朗日插值、三角函数多项式插值和切比雪夫多项式拟合进行比较，通过数值模拟计算分析该方法的优越性。二、勒让德多项式拟合原理1．多项式的构造由于勒让德多项式只适用于自变量区间为卜1，1]的情况，因此在时间段【f0，岛+△门内(fo为初始时刻，△f为拟合时间长度)采用行阶

4、勒让德多项式拟合时，首先需要利用公式f=掣一1州锚化】(1)将变量f的区间归化到卜1，1】。则由文献【6】可知，GPs卫星X方向坐标的勒让德拟合多项式可表示为x(f)=∑q只(f)扛O(2)式中，刀为多项式阶数，巴为多项式系数，只(彳)为第f阶勒让德多项式，可通过其具有的下列递推关系求出：昂(f)：l，丑(f)：f，只(f)：型f只一．p)一0—1)只一：p)(3)一2．根据最小二乘原理求解多项式系数在时间段[岛，岛+缸]内选取脚(聊>行+1)个节点历元乇，乞j⋯，乙，由(1)式可得到其对应的归化时间变量q，吃，⋯，o。再由(2)式和(3)式可得到该聊个历元时刻的

5、GPS卫星拟合坐标(含未知数cI)。将拟合坐标与已知的IGs精密星历作差，即y=x—x式中，y=孑{乏j]：x：占c，曰：Iy(‰)j。。。昂(q)暑(q)⋯￡(q)l局(乞)墨(吒)⋯￡(乞’I，c：昂(％)皇(％)⋯只(靠)J。。。X(t)表示节点时刻的IGs精密星历(从sp3格式的数据文件中读取)。乞《《．(4)：彳=疗xlx(‘)]x(吃)IIx(％)j。l根据最小二乘标准yr尸y=min，可知C=(Br胎)一1召r以。由于各卫星轨道观测是等权的，所以P为单位阵，因此求解多项式系数矩阵C的表达式可改写成：C=(Br占)一1BrX(5)将(5)式回代入(2)

6、式即可得到求解任意时刻X方向坐标的拟合多项式(仅含未知数f)。同理，还可以得到GPS卫星在】，和Z方向的坐标拟合多项式：y(f)=∑巳只(f)z(f)=∑巴只(f)‘式中，cI和c：为多项式系数，e(f)完全等同于(2)式中的卑(f)·三、算例分析由勒让德多项式拟合原理可知，拟合精度除与阶数玎有关外，还与选取的节点历元个数所有关。因此，在勒让德多项式拟合GPS卫星轨道过程中涉及到两个问题，一是拟合多项式最佳阶数的确定；二是节点历元最佳个数的确定(肌随力变化而变化)。1．数值算例结果比对在IGS发布的精密星历中，选取2007年6月10日PRN(Pseud0胁domN

7、oise，为随机噪声码)为l的GPS卫星星历，分别用6阶、7阶和8阶勒让德多项式拟合GPS卫星轨道。在推导6阶拟合多项式过程中，依次取册值为8、9、10，得到了三个不同的拟合多项式，表l给出了三个多项式的拟合精度。在分析7阶多项式拟合精度时，依次取肌值为9、10、ll；8阶时依次取所值为lO、ll、12。表2和表3分别给出了它们的拟合精度(Fi仕ing)。表16阶勒让德多项式拟合精度对比(单位：m)2l300．0O．2854O．6480O．12232l45O．00．07870．13840．0297一1．4753—3．3898加．63632200O．00．0117O

8、．0164